Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{M P}
Passo 1
O que o problema pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{MP} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}).
Informações relevantes que o enunciado e a figura dão (os nomes e a posição dos pontos foram obtidos a partir da imagem fornecida):
A figura é uma malha de paralelogramos com 3 linhas horizontais e 5 colunas verticais.
Nas linhas horizontais, de baixo para cima, aparecem os pontos
linha inferior: A, F, H, J, D,
linha do meio: K, L, M, N, P,
linha superior: B, E, G, I, C.
As colunas verticais, da esquerda para a direita, têm os pontos
coluna 0: A, K, B,
coluna 1: F, L, E,
coluna 2: H, M, G,
coluna 3: J, N, I,
coluna 4: D, P, C.
A base pedida é \mathcal{B}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Assim um “passo” na direção de \overrightarrow{AF} desloca um ponto uma coluna para a direita; um “passo” na direção de \overrightarrow{AB} desloca um ponto uma linha para cima.
Objetivo final: expressar \overrightarrow{MP} como combinação linear\overrightarrow{MP}=x\,\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB},e fornecer as coordenadas (x,y).
Passo 2
Conceito chave (explicado passo a passo, sem pular etapas):
Se \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2) é uma base de um espaço vetorial (aqui o plano), então qualquer vetor \mathbf{v} pode ser escrito de forma única como\mathbf{v}=x\,\mathbf{b}_1+y\,\mathbf{b}_2,onde x e y são as coordenadas de \mathbf{v} na base \mathcal{B}. Essas coordenadas formam o par (x,y).
Para vetores que ligam dois pontos X e Y do plano vale a relação\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{AY}-\overrightarrow{AX},para qualquer ponto de referência A. Em particular, escolhendo A como origem de referência facilita contar quantos passos em cada direção são necessários.
No nosso caso prático, a figura forma uma grade onde se conta colunas e linhas inteiras. Assim basta determinar as coordenadas de M e P em relação a A (em unidades de \overrightarrow{AF} e \overrightarrow{AB}) e subtrair.
Passo 3
Achar as coordenadas de M e P relativas ao ponto A:
Contando colunas e linhas na figura (veja os índices na seção de imagens):
O ponto M está na coluna 2 (duas colunas à direita de A) e na linha 1 (uma linha acima de A). Logo, em termos da base,\overrightarrow{AM}=2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
O ponto P está na coluna 4 (quatro colunas à direita de A) e na linha 1 (uma linha acima de A). Logo,\overrightarrow{AP}=4\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
Passo 4
Calcular \overrightarrow{MP} usando a relação \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}:
Interpretação final (didática e leve): o vetor \overrightarrow{MP} corresponde a dois passos para a direita (duas vezes \overrightarrow{AF}) e nenhum passo para cima (zero vezes \overrightarrow{AB}). É como ir de M para P caminhando duas colunas à direita na mesma linha.