Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{A B}
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{A B} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
Informações fornecidas:
A base é formada pelos vetores \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B}.
O vetor a ser expresso na base é \overrightarrow{A B}.
A figura mostra os pontos A, F, B e vários outros, e indica geometricamente os segmentos correspondentes a \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B}.
Passo 2
O que significa “coordenadas de um vetor em relação a uma base”?
Seja uma base \mathcal{B}=(\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2). Dizer que o vetor \mathbf{v} tem coordenadas (x,y) nessa base significa que
\mathbf{v}=x\,\mathbf{b}_1+y\,\mathbf{b}_2,
onde x e y são escalares únicos quando \mathbf{b}_1 e \mathbf{b}_2 são linearmente independentes. Aqui vamos aplicar essa definição com \mathbf{b}_1=\overrightarrow{A F}, \mathbf{b}_2=\overrightarrow{A B} e \mathbf{v}=\overrightarrow{A B}.
onde x e y são as coordenadas desconhecidas que queremos encontrar.
Passo 4
Repare que o termo \overrightarrow{A B} aparece dos dois lados da equação. Podemos reorganizar ou simplesmente observar geometricamente: o vetor \overrightarrow{A B} já é exatamente um dos vetores da base (é \mathbf{b}_2). Portanto a combinação que dá \overrightarrow{A B} é
o que é verdadeiro. Como \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} formam uma base (assumimos independência linear pela figura), a solução é única.
Passo 6
Interpretação rápida e dica para a prova: sempre que o vetor que se quer escrever for exatamente um dos vetores da base, suas coordenadas são todas zero, exceto um 1 na posição correspondente ao vetor da base. Ex.: \overrightarrow{A F} teria coordenadas (1,0) na base dada.