Em \mathbb{R}^{3} provar que \langle\cdot, \cdot\rangle é um p.i; onde \left\langle\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) ;\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)\right\rangle=2 x_{1} y_{1}+3 x_{2} y_{2}+4 x_{3} y_{3}

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^{3} a aplicação
\left\langle\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)\right\rangle = 2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3}.
O que se pede: provar que \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno (p.i.) em \mathbb{R}^{3}.
Para um espaço vetorial real, lembrar que mostrar que uma forma é produto interno exige verificar três propriedades (sempre as teremos em mente e as vou demonstrar uma a uma):
  1. Simetria: para todo x,y vale \langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle.
  2. Linearidade em um dos argumentos (aqui vou mostrar linearidade no primeiro argumento): para todo x,z,y\in\mathbb{R}^3 e todo escalar a\in\mathbb{R}, \langle x+z,y\rangle=\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle \quad\text{e}\quad \langle a x,y\rangle=a\langle x,y\rangle.
  3. Positividade definida: para todo x\in\mathbb{R}^3 vale \langle x,x\rangle\ge 0 e \langle x,x\rangle=0 se, e somente se, x=0.
Nos próximos passos vou verificar cada uma dessas propriedades explicitamente, com contas claras e explicadas.

Passo 2

Prova da simetria.
Tomando x=(x_{1},x_{2},x_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}), por definição
\langle x,y\rangle=2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3}.
Como a multiplicação de números reais é comutativa, x_{i}y_{i}=y_{i}x_{i} para i=1,2,3. Portanto
\langle x,y\rangle=2y_{1}x_{1}+3y_{2}x_{2}+4y_{3}x_{3}=\langle y,x\rangle.
Conclusão: a forma é simétrica.

Passo 3

Prova da linearidade (additividade e homogeneidade) no primeiro argumento.
Sejam x=(x_{1},x_{2},x_{3}), z=(z_{1},z_{2},z_{3}) e y=(y_{1},y_{2},y_{3}).
  1. Additividade:
    o vetor x+z tem coordenadas (x_{1}+z_{1},\,x_{2}+z_{2},\,x_{3}+z_{3}). Assim, usando a definição,
\langle x+z,y\rangle =2(x_{1}+z_{1})y_{1}+3(x_{2}+z_{2})y_{2}+4(x_{3}+z_{3})y_{3}.
Distribuindo (ou seja, usando distributividade da multiplicação sobre soma),
\langle x+z,y\rangle =(2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3})+(2z_{1}y_{1}+3z_{2}y_{2}+4z_{3}y_{3}).
Pelo lado direito isto é exatamente \langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle. Logo a additividade está provada.
  1. Homogeneidade:
    para um escalar a\in\mathbb{R}, o vetor a x tem coordenadas (a x_{1},a x_{2},a x_{3}). Então
\langle a x,y\rangle =2(a x_{1})y_{1}+3(a x_{2})y_{2}+4(a x_{3})y_{3}.
Fatorando a em cada termo,
\langle a x,y\rangle =a(2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3})=a\langle x,y\rangle.
Portanto a homogeneidade também vale.
Observação rápida (útil para provas): pela simetria, a linearidade no primeiro argumento implica linearidade no segundo argumento também (pois \langle x, y+z\rangle=\langle y+z,x\rangle=\langle y,x\rangle+\langle z,x\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle), então a forma é bilinear simétrica.

Passo 4

Prova da positividade definida.
Calculemos \langle x,x\rangle para x=(x_{1},x_{2},x_{3}):
\langle x,x\rangle=2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}.
Aqui cada termo 2x_{1}^{2}, 3x_{2}^{2}, 4x_{3}^{2} é maior ou igual a zero, porque um quadrado x_{i}^{2} é sempre \ge 0 e os coeficientes 2,3,4 são positivos. Logo a soma é \ge 0, portanto \langle x,x\rangle\ge 0 para todo x.
Agora mostrar que \langle x,x\rangle=0 implica x=0. Se
2x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+4x_{3}^{2}=0,
então sendo soma de termos não-negativos, cada termo deve ser zero: 2x_{1}^{2}=0, 3x_{2}^{2}=0, 4x_{3}^{2}=0. Como os coeficientes são positivos, isso força x_{1}^{2}=x_{2}^{2}=x_{3}^{2}=0, isto é x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Portanto x=0. Assim a positividade é estrita quando x\neq 0.

Passo 5

Conclusão final.
Mostramos que a forma é simétrica, linear em cada argumento e positiva definida. Essas são exatamente as propriedades exigidas para que uma aplicação seja produto interno em um espaço vetorial real. Portanto \langle\cdot,\cdot\rangle é um produto interno em \mathbb{R}^{3}.
Força aí — a prova é só aplicar distributividade e observar que os coeficientes são positivos; dá para repetir o raciocínio para qualquer soma ponderada com coeficientes positivos e fica parecido.

Resposta

A aplicação \left\langle\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right),\left(y_{1},y_{2},y_{3}\right)\right\rangle=2x_{1}y_{1}+3x_{2}y_{2}+4x_{3}y_{3} é um produto interno em \mathbb{R}^{3}.

Exercícios relacionados