Em
provar que
é um p.i; onde
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
O que se pede: provar que
é um produto interno (p.i.) em
.
Para um espaço vetorial real, lembrar que mostrar que uma forma é produto interno exige verificar três propriedades (sempre as teremos em mente e as vou demonstrar uma a uma):
- Simetria: para todo
vale . - Linearidade em um dos argumentos (aqui vou mostrar linearidade no primeiro argumento): para todo
e todo escalar , - Positividade definida: para todo
vale e se, e somente se, .
Nos próximos passos vou verificar cada uma dessas propriedades explicitamente, com contas claras e explicadas.
Passo 2
Prova da simetria.
Tomando
e
, por definição
Como a multiplicação de números reais é comutativa,
para
. Portanto
Conclusão: a forma é simétrica.
Passo 3
Prova da linearidade (additividade e homogeneidade) no primeiro argumento.
Sejam
,
e
.
- Additividade:
o vetortem coordenadas . Assim, usando a definição,
Distribuindo (ou seja, usando distributividade da multiplicação sobre soma),
Pelo lado direito isto é exatamente
. Logo a additividade está provada.
- Homogeneidade:
para um escalar, o vetor tem coordenadas . Então
Fatorando
em cada termo,
Portanto a homogeneidade também vale.
Observação rápida (útil para provas): pela simetria, a linearidade no primeiro argumento implica linearidade no segundo argumento também (pois
), então a forma é bilinear simétrica.
Passo 4
Prova da positividade definida.
Calculemos
para
:
Aqui cada termo
,
,
é maior ou igual a zero, porque um quadrado
é sempre
e os coeficientes
são positivos. Logo a soma é
, portanto
para todo
.
Agora mostrar que
implica
. Se
então sendo soma de termos não-negativos, cada termo deve ser zero:
,
,
. Como os coeficientes são positivos, isso força
, isto é
. Portanto
. Assim a positividade é estrita quando
.
Passo 5
Conclusão final.
Mostramos que a forma é simétrica, linear em cada argumento e positiva definida. Essas são exatamente as propriedades exigidas para que uma aplicação seja produto interno em um espaço vetorial real. Portanto
é um produto interno em
.
Força aí — a prova é só aplicar distributividade e observar que os coeficientes são positivos; dá para repetir o raciocínio para qualquer soma ponderada com coeficientes positivos e fica parecido.
Resposta
A aplicação
é um produto interno em
.