Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{J E}
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{J E} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar escalares x e y tais que
Informações relevantes dadas (extraídas da figura):
A figura mostra uma malha formada por paralelogramos organizados em 5 colunas (da esquerda para a direita) e 3 “níveis” (linha inferior, linha do meio, linha superior).
Pontos na linha inferior (da esquerda para a direita): A, F, H, J, D.
Pontos na linha do meio (da esquerda para a direita): K, L, M, N, P.
Pontos na linha superior (da esquerda para a direita): B, E, G, I, C.
O vetor \overrightarrow{A F} representa um deslocamento horizontal entre colunas (um “passo” na direção das colunas).
O vetor \overrightarrow{A B} vai de A para B e passa por K, ou seja, ele corresponde a dois “níveis” (linha inferior → linha do meio → linha superior). Em termos de passos verticais, a linha do meio está a metade de \overrightarrow{A B} (por exemplo, K é o ponto intermediário entre A e B).
Passo 2
Estratégia prática e ideia geométrica (aulas rápidas e concretas):
Quando se trabalha com uma base formada por dois vetores \overrightarrow{u}=\overrightarrow{A F} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{A B}, qualquer ponto do arranjo pode ser representado como combinação linear de \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} tomando A como origem.
Aqui é útil pensar em índices de coluna e de nível:
Cada avanço de uma coluna para a direita acrescenta uma cópia de \overrightarrow{A F}.
O nível superior corresponde a uma cópia completa de \overrightarrow{A B}; o nível do meio corresponde a metade de \overrightarrow{A B}.
Assim, para um ponto que está na coluna i (com A na coluna 0) e no nível r (com r=0 para linha inferior, r=1 para linha do meio, r=2 para linha superior), a posição relativa a A pode ser escrita como
O coeficiente -2 na direção \overrightarrow{A F} significa que, partindo de J, para chegar a E é preciso ir duas colunas para a esquerda.
O coeficiente 1 na direção \overrightarrow{A B} significa que, partindo de J, é preciso subir o equivalente a uma cópia inteira de \overrightarrow{A B} (ou seja, subir duas “meias-alturas”, passando da linha inferior para a superior).
Dica prática: em malhas regulares de paralelogramos, sempre conte colunas (multiplicidade de \overrightarrow{A F}) e níveis (fração de \overrightarrow{A B}) para montar as coordenadas com rapidez.