Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{J E}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{J E} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar escalares x e y tais que
\overrightarrow{J E}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.
Informações relevantes dadas (extraídas da figura):
  • A figura mostra uma malha formada por paralelogramos organizados em 5 colunas (da esquerda para a direita) e 3 “níveis” (linha inferior, linha do meio, linha superior).
  • Pontos na linha inferior (da esquerda para a direita): A, F, H, J, D.
  • Pontos na linha do meio (da esquerda para a direita): K, L, M, N, P.
  • Pontos na linha superior (da esquerda para a direita): B, E, G, I, C.
  • O vetor \overrightarrow{A F} representa um deslocamento horizontal entre colunas (um “passo” na direção das colunas).
  • O vetor \overrightarrow{A B} vai de A para B e passa por K, ou seja, ele corresponde a dois “níveis” (linha inferior → linha do meio → linha superior). Em termos de passos verticais, a linha do meio está a metade de \overrightarrow{A B} (por exemplo, K é o ponto intermediário entre A e B).

Passo 2

Estratégia prática e ideia geométrica (aulas rápidas e concretas):
  • Quando se trabalha com uma base formada por dois vetores \overrightarrow{u}=\overrightarrow{A F} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{A B}, qualquer ponto do arranjo pode ser representado como combinação linear de \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} tomando A como origem.
  • Aqui é útil pensar em índices de coluna e de nível:
    • Cada avanço de uma coluna para a direita acrescenta uma cópia de \overrightarrow{A F}.
    • O nível superior corresponde a uma cópia completa de \overrightarrow{A B}; o nível do meio corresponde a metade de \overrightarrow{A B}.
  • Assim, para um ponto que está na coluna i (com A na coluna 0) e no nível r (com r=0 para linha inferior, r=1 para linha do meio, r=2 para linha superior), a posição relativa a A pode ser escrita como
i\,\overrightarrow{A F}+\frac{r}{2}\,\overrightarrow{A B}.
  • Vamos aplicar isso para J e E.

Passo 3

Encontrar as coordenadas de J e E em relação à base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}):
  • Posição de J: J está na quarta coluna (contando A como coluna 0) e na linha inferior ( r=0). Logo
\overrightarrow{A J}=3\,\overrightarrow{A F}+0\cdot\overrightarrow{A B}.
Em coordenadas, J corresponde a \bigl(3,0\bigr) na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).
  • Posição de E: E está na segunda coluna (contando A como coluna 0, isto é, coluna 1) e na linha superior ( r=2). Para r=2 temos \dfrac{r}{2}=1. Logo
\overrightarrow{A E}=1\cdot\overrightarrow{A F}+1\cdot\overrightarrow{A B}.
Em coordenadas, E corresponde a \bigl(1,1\bigr) na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).

Passo 4

Calcular \overrightarrow{J E}=\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A J} em coordenadas:
  • Subtraindo componente a componente (na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B})):
\overrightarrow{J E}=\bigl(1,1\bigr)-\bigl(3,0\bigr)=\bigl(1-3,\;1-0\bigr)=\bigl(-2,1\bigr).
  • Isso significa, escrito como combinação linear,
\overrightarrow{J E}=-2\,\overrightarrow{A F}+1\,\overrightarrow{A B}.

Passo 5

Interpretação final curta e dica para a prova:
  • O coeficiente -2 na direção \overrightarrow{A F} significa que, partindo de J, para chegar a E é preciso ir duas colunas para a esquerda.
  • O coeficiente 1 na direção \overrightarrow{A B} significa que, partindo de J, é preciso subir o equivalente a uma cópia inteira de \overrightarrow{A B} (ou seja, subir duas “meias-alturas”, passando da linha inferior para a superior).
  • Dica prática: em malhas regulares de paralelogramos, sempre conte colunas (multiplicidade de \overrightarrow{A F}) e níveis (fração de \overrightarrow{A B}) para montar as coordenadas com rapidez.

Resposta

\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}]

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