Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{M B}
Passo 1
O que o exercício pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M B} com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
Informações relevantes extraídas do enunciado e da figura (peguei estes dados na imagem):
A figura mostra uma malha formada por paralelogramos, com três linhas “horizontais” (uma inferior, uma do meio e uma superior) e cinco colunas verticais de pontos.
Na linha inferior (linha de base) aparecem, da esquerda para a direita, os pontos A, F, H, J, D.
Na linha do meio aparecem, da esquerda para a direita, os pontos K, L, M, N, P.
Na linha superior aparecem, da esquerda para a direita, os pontos B, E, G, I, C.
A base pedida é \mathcal{B}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}). Ou seja, o primeiro vetor da base é o “passo” horizontal de A para F e o segundo vetor da base é o vetor de A para B (que salta da linha inferior para a linha superior).
Observação visual: a linha do meio está localizada exatamente entre a linha inferior e a linha superior (ou seja, pontos da linha do meio correspondem a “meio passo” em relação a \overrightarrow{A B}).
Passo 2
Conceito e método (como pensar para a prova, passo a passo):
Seja uma base \mathcal{B}=(\mathbf{u},\mathbf{v}). Qualquer vetor \mathbf{w} pode ser escrito de maneira única como combinação linear \mathbf{w}=x\mathbf{u}+y\mathbf{v}. Os números x,y são as coordenadas de \mathbf{w} na base \mathcal{B}.
Para vetores que ligam pontos do plano, usamos que as coordenadas do vetor \overrightarrow{PQ} (na base \mathcal{B}) são dadas por
Isto é, primeiro escrevo as coordenadas dos vetores posição \overrightarrow{AP} e \overrightarrow{AQ} na base, e depois subtraio coordenada a coordenada.
No nosso caso a base é \mathcal{B}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Então coordenadas serão pares (x,y) tais que
Identificar coordenadas dos pontos na grade (usando a malha que peguei na imagem):
Vou tomar \overrightarrow{AF} como um “passo horizontal unitário” para a direita (colunas) e \overrightarrow{AB} como o passo vertical unitário que vai da linha inferior para a linha superior (ou seja, um “salto” de duas linhas, porque existe uma linha do meio entre inferior e superior).
Com essa escolha, os pontos correspondem às seguintes coordenadas relativas a A:
Linha do meio (está a meio caminho entre inferior e superior): \overrightarrow{A K}=(0,\tfrac{1}{2}), \overrightarrow{A L}=(1,\tfrac{1}{2}), \overrightarrow{A M}=(2,\tfrac{1}{2}), \overrightarrow{A N}=(3,\tfrac{1}{2}), \overrightarrow{A P}=(4,\tfrac{1}{2}).
Obs.: eu coloquei explicitamente que peguei essa estrutura da imagem (a divisão em colunas e em três linhas) e defini as coordenadas inteiras/seminteiras conforme essa malha.
Passo 4
Calcular \overrightarrow{M B} pelas coordenadas encontradas:
Primeiro escrevo as coordenadas de \overrightarrow{A M} e \overrightarrow{A B} na base \mathcal{B}:
\overrightarrow{A M}=(2,\tfrac{1}{2}) (peguei da linha do meio, terceira coluna).
\overrightarrow{A B}=(0,1) (peguei da linha superior, primeira coluna).
Agora uso a fórmula [\overrightarrow{MB}]_{\mathcal{B}}=[\overrightarrow{AB}]_{\mathcal{B}}-[\overrightarrow{AM}]_{\mathcal{B}}. Então:
Verificação rápida de sentido (controle mental para a prova):
O coeficiente em \overrightarrow{AF} é -2: isso significa que, para ir de M até B, andamos dois passos para a esquerda na direção oposta de AF — visualmente faz sentido porque M está duas colunas à direita de B.
O coeficiente em \overrightarrow{AB} é \tfrac{1}{2}: isso significa que subimos meio passo de AB (isto é, de uma linha do meio à linha superior) — também condiz com a figura, pois M está na linha do meio e B na linha superior.