Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{M A}
Passo 1
O que o problema pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M A} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar escalares x e y tais que
Informações relevantes fornecidas (retiradas da figura):
Os pontos formam uma grade de paralelogramos com 5 colunas e 3 linhas.
Na linha de baixo, da esquerda para a direita: A, F, H, J, D.
Na linha do meio, da esquerda para a direita: K, L, M, N, P.
Na linha de cima, da esquerda para a direita: B, E, G, I, C.
Portanto F é um passo à direita de A, H é dois passos à direita de A, e assim por diante.
Na mesma coluna: de baixo para cima estão A (linha inferior), K (linha do meio), B (linha superior). Portanto o segmento \overrightarrow{A B} atravessa duas “meias-alturas” (ou seja, de A até K é metade de \overrightarrow{A B}).
Passo 2
Ideia e conceito usado (explicado passo a passo, sem pular etapas)
Para qualquer base ordenada (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2), as coordenadas de um vetor \mathbf{v} são os escalares x,y tais que \mathbf{v}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2.
Aqui escolhemos \mathbf{e}_1=\overrightarrow{A F} e \mathbf{e}_2=\overrightarrow{A B}.
Uma forma prática: primeiro expressamos a posição de M em relação a A (isto é \overrightarrow{A M}) como combinação de \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2; depois \overrightarrow{M A}=-\overrightarrow{A M}.
Importante entender a unidade vertical: observando a figura, de A até B há dois segmentos verticais iguais (de A para K e de K para B). Logo o vetor de A para a linha do meio (por exemplo A até K ou até M verticalmente) vale \tfrac{1}{2}\overrightarrow{A B}. Vou usar isso explicitamente.
Passo 3
Contagem de passos horizontais e verticais (pegando estes contagens da imagem)
Horizontalmente: para ir de A até a coluna de M é preciso mover-se duas vezes no sentido de \overrightarrow{A F} (pois a sequência na linha de baixo é A (0), F (1), H (2) — e M está acima de H). Logo a componente horizontal de \overrightarrow{A M} é 2\overrightarrow{A F}.
Verticalmente: M está na linha do meio; de A até a linha do meio é metade de \overrightarrow{A B}. Logo a componente vertical de \overrightarrow{A M} é \tfrac{1}{2}\overrightarrow{A B}.
Logo, os escalares x e y que satisfazem \overrightarrow{M A}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B} são
x=-2,\qquad y=-\tfrac{1}{2}.
Passo 5
Interpretação rápida e checagem intuitiva (para você ganhar confiança)
Interpretação: \overrightarrow{M A} vai duas unidades para a esquerda (cada unidade é -\overrightarrow{A F}) e meia unidade para baixo (cada unidade vertical é -\overrightarrow{A B} multiplicada por \tfrac{1}{2}).
Checagem simples: somando \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M A}=0 — de fato (2,-\tfrac{1}{2})+(-2,-\tfrac{1}{2})=(0,0) considerando sinais apropriados — confirma consistência de sinais e magnitudes.