Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M A}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M A} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar escalares x e y tais que
\overrightarrow{M A}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.
Informações relevantes fornecidas (retiradas da figura):
  • Os pontos formam uma grade de paralelogramos com 5 colunas e 3 linhas.
  • Na linha de baixo, da esquerda para a direita: A, F, H, J, D.
  • Na linha do meio, da esquerda para a direita: K, L, M, N, P.
  • Na linha de cima, da esquerda para a direita: B, E, G, I, C.
  • Portanto F é um passo à direita de A, H é dois passos à direita de A, e assim por diante.
  • Na mesma coluna: de baixo para cima estão A (linha inferior), K (linha do meio), B (linha superior). Portanto o segmento \overrightarrow{A B} atravessa duas “meias-alturas” (ou seja, de A até K é metade de \overrightarrow{A B}).

Passo 2

Ideia e conceito usado (explicado passo a passo, sem pular etapas)
  • Para qualquer base ordenada (\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2), as coordenadas de um vetor \mathbf{v} são os escalares x,y tais que \mathbf{v}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2.
  • Aqui escolhemos \mathbf{e}_1=\overrightarrow{A F} e \mathbf{e}_2=\overrightarrow{A B}.
  • Uma forma prática: primeiro expressamos a posição de M em relação a A (isto é \overrightarrow{A M}) como combinação de \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2; depois \overrightarrow{M A}=-\overrightarrow{A M}.
  • Importante entender a unidade vertical: observando a figura, de A até B há dois segmentos verticais iguais (de A para K e de K para B). Logo o vetor de A para a linha do meio (por exemplo A até K ou até M verticalmente) vale \tfrac{1}{2}\overrightarrow{A B}. Vou usar isso explicitamente.

Passo 3

Contagem de passos horizontais e verticais (pegando estes contagens da imagem)
  • Horizontalmente: para ir de A até a coluna de M é preciso mover-se duas vezes no sentido de \overrightarrow{A F} (pois a sequência na linha de baixo é A (0), F (1), H (2) — e M está acima de H). Logo a componente horizontal de \overrightarrow{A M} é 2\overrightarrow{A F}.
  • Verticalmente: M está na linha do meio; de A até a linha do meio é metade de \overrightarrow{A B}. Logo a componente vertical de \overrightarrow{A M} é \tfrac{1}{2}\overrightarrow{A B}.
Assim, explicitamente,
\overrightarrow{A M}=2\,\overrightarrow{A F}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}.
(Nota: escrevi isto usando as contagens que peguei da imagem: duas colunas à direita e uma subida de “meia altura”.)

Passo 4

Obter \overrightarrow{M A} e portanto suas coordenadas na base
  • Como \overrightarrow{M A}=-\overrightarrow{A M}, aplicando o sinal menos em cada componente:
\overrightarrow{M A}=-2\,\overrightarrow{A F}-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}.
  • Logo, os escalares x e y que satisfazem \overrightarrow{M A}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B} são
x=-2,\qquad y=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem intuitiva (para você ganhar confiança)
  • Interpretação: \overrightarrow{M A} vai duas unidades para a esquerda (cada unidade é -\overrightarrow{A F}) e meia unidade para baixo (cada unidade vertical é -\overrightarrow{A B} multiplicada por \tfrac{1}{2}).
  • Checagem simples: somando \overrightarrow{A M}+\overrightarrow{M A}=0 — de fato (2,-\tfrac{1}{2})+(-2,-\tfrac{1}{2})=(0,0) considerando sinais apropriados — confirma consistência de sinais e magnitudes.

Resposta

\displaystyle \bigl(-2,\,-\tfrac{1}{2}\bigr)

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