Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M E}

Passo 1

O que o problema pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{ME} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}).
Informações dadas e observações extraídas da figura (peguei estes dados da imagem): os pontos formam uma grade regular de paralelogramos com três linhas horizontais (ou três “níveis”) e cinco colunas; os vetores \overrightarrow{AF} e \overrightarrow{AB} são os vetores geradores da grade (um passo na horizontal da grade e um passo na vertical da grade). O enunciado pede apenas as coordenadas de \overrightarrow{ME} na base \mathcal{B}.

Passo 2

Ideia-chave (conceito): quando uma base é (\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}), dizer que um vetor \overrightarrow{w} tem coordenadas (x,y) nessa base significa
\overrightarrow{w}=x\,\overrightarrow{u}+y\,\overrightarrow{v}.
Aqui \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AF} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}. Portanto, para achar as coordenadas de \overrightarrow{ME} basta escrever \overrightarrow{ME} como combinação linear de \overrightarrow{AF} e \overrightarrow{AB}.

Passo 3

Como trabalhar com pontos da grade: é útil atribuir a cada ponto suas coordenadas inteiras relativas a A usando a base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}). Defino:
  • o ponto A como origem: \overrightarrow{AA}=\mathbf{0} corresponde a (0,0);
  • mover uma coluna para a direita (seguir o sentido de \overrightarrow{AF}) aumenta a primeira coordenada em 1;
  • subir uma linha (seguir o sentido de \overrightarrow{AB}) aumenta a segunda coordenada em 1.
Peguei da imagem as posições inteiras dos pontos na grade; por inspeção (peguei estes números da imagem) temos, por exemplo:
\overrightarrow{AF}=(1,0) (isto é, F está uma unidade de \overrightarrow{AF} à direita de A) e \overrightarrow{AB}=(0,1) (isto é, B está uma unidade de \overrightarrow{AB} acima de A). Assim cada ponto pode ser escrito como \overrightarrow{AX}=i\,\overrightarrow{AF}+j\,\overrightarrow{AB} e então associamos a X o par (i,j).

Passo 4

Identificar as coordenadas de E e de M relativas a A (usei a posição dos pontos visível na imagem):
  • E está na segunda coluna (contando de A) e na linha superior (terceira linha), logo
\overrightarrow{AE}=1\cdot\overrightarrow{AF}+2\cdot\overrightarrow{AB},
isto é, E tem coordenadas (1,2) em relação a A.
  • M está na terceira coluna e na linha do meio, logo
\overrightarrow{AM}=2\cdot\overrightarrow{AF}+1\cdot\overrightarrow{AB},
isto é, M tem coordenadas (2,1) em relação a A.
(Repito: os valores (1,2) para E e (2,1) para M foram obtidos observando a grade na imagem.)

Passo 5

Passo algébrico para obter \overrightarrow{ME}: por definição de soma e subtração de vetores,
\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AM}.
Substituindo as expressões obtidas:
\overrightarrow{ME}=(1\overrightarrow{AF}+2\overrightarrow{AB})-(2\overrightarrow{AF}+1\overrightarrow{AB}).

Passo 6

Fazendo a subtração componente a componente (agrupando termos em \overrightarrow{AF} e em \overrightarrow{AB}):
\overrightarrow{ME}=(1-2)\,\overrightarrow{AF}+(2-1)\,\overrightarrow{AB} = -1\cdot\overrightarrow{AF}+1\cdot\overrightarrow{AB}.
Isto significa que, na base \mathcal{B}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}), as coordenadas de \overrightarrow{ME} são (-1,1).

Passo 7

Interpretação rápida (ajuda para a prova): o par (-1,1) diz que, partindo de M, para chegar a E é preciso dar um passo no sentido negativo de \overrightarrow{AF} (ou seja, um passo para a esquerda na grade) e um passo no sentido positivo de \overrightarrow{AB} (um passo para cima). Isso bate com a posição relativa de M e E na figura.

Resposta

(-1,1)

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