Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M F}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M F} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}). Ou seja, achar escalares x e y tais que
\overrightarrow{M F}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado e pela figura (peguei estes dados da imagem):
  • Os pontos estão organizados em uma malha regular de paralelogramos com três linhas (inferior, média, superior) e cinco colunas.
  • Linha inferior (da esquerda para a direita): A,\;F,\;H,\;J,\;D.
  • Linha média (da esquerda para a direita): K,\;L,\;M,\;N,\;P.
  • Linha superior (da esquerda para a direita): B,\;E,\;G,\;I,\;C.
  • Em cada coluna, o ponto da linha média é exatamente o ponto médio do segmento que liga o ponto da linha inferior ao ponto da linha superior (isto é, o ponto da linha média fica a meio caminho entre o correspondente inferior e superior).
  • A base indicada é \big(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}\big); vou usar isso explicitamente mais adiante.

Passo 2

O que significa “coordenadas de um vetor em relação a uma base” (explicação didática curta):
  • Dada uma base de vetores \big(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\big), as coordenadas de um vetor \overrightarrow{w} nessa base são os escalares a e b tais que
\overrightarrow{w}=a\,\overrightarrow{u}+b\,\overrightarrow{v}.
  • Aqui a base é \big(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}\big). Vou chamar \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{u} e \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{v} para simplificar a notação. Nosso objetivo é achar x e y tais que
\overrightarrow{M F}=x\,\overrightarrow{u}+y\,\overrightarrow{v}.
  • Estratégia prática: escrever as posições dos pontos F e M como combinações de \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} com origem em A, e então calcular \overrightarrow{M F}=\overrightarrow{A F}-\overrightarrow{A M}.

Passo 3

Expressar as posições dos pontos em função de \overrightarrow{u}=\overrightarrow{A F} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{A B} (uso explícito da informação da imagem sobre a malha):
  • Tomando A como origem (vetor-nulo), o ponto F está uma unidade de \overrightarrow{u} à direita de A. Logo
\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{u}.
  • Observando as colunas, os pontos da linha inferior têm coordenadas em u com incrementos inteiros: A=0\cdot\overrightarrow{u}, F=1\cdot\overrightarrow{u}, H=2\cdot\overrightarrow{u}, etc.
  • Pela informação da imagem, cada ponto da linha média é o ponto médio entre o ponto da linha inferior e o da linha superior na mesma coluna. Assim, para a terceira coluna (onde está M na linha média e H na linha inferior, G na linha superior) vale:
    • posição de H: \overrightarrow{A H}=2\,\overrightarrow{u}.
    • posição de M: é o ponto médio entre H e G. Como G tem posição \overrightarrow{A G}=2\,\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} (mesma coluna que H mais o vetor vertical \overrightarrow{v}), o ponto médio tem posição
\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A H}+\tfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{A G}-\overrightarrow{A H}\big) =2\,\overrightarrow{u}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{v}.
  • Reescrevendo de forma mais simples (peguei da figura que M está na coluna de H e na linha média):
\overrightarrow{A M}=2\,\overrightarrow{u}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{v}.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{M F} como diferença de posições e extrair as coordenadas:
  • Por definição,
\overrightarrow{M F}=\overrightarrow{A F}-\overrightarrow{A M}.
  • Substituindo as expressões em \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} (veja que peguei \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{u} e \overrightarrow{A M}=2\overrightarrow{u}+\tfrac{1}{2}\overrightarrow{v} da construção acima):
\overrightarrow{M F}=\overrightarrow{u}-\biggl(2\,\overrightarrow{u}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{v}\biggr).
  • Desenvolvendo:
\overrightarrow{M F}=\overrightarrow{u}-2\,\overrightarrow{u}-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{v}=-\,\overrightarrow{u}-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{v}.
  • Portanto os coeficientes na combinação \overrightarrow{M F}=x\,\overrightarrow{u}+y\,\overrightarrow{v} são
x=-1,\qquad y=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação e dica rápida para a prova (como aplicar o raciocínio em outros casos):
  • O raciocínio foi: colocar A como origem, escrever as posições de F e M em função de \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} usando a malha regular, e então fazer a diferença. Em geral, para malhas regulares conte quantos passos em \overrightarrow{A F} (colunas) e que fração de \overrightarrow{A B} (linhas) cada ponto representa; isso facilita obter as coordenadas sem cálculo pesado.
  • Não esqueça: sempre que a imagem mostrar um ponto médio, isso introduz fator \tfrac{1}{2} nas coordenadas — foi o caso de M.

Resposta

\displaystyle \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}]

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