Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{M F}
Passo 1
O que o problema pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M F} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}). Ou seja, achar escalares x e y tais que
Informações relevantes dadas pelo enunciado e pela figura (peguei estes dados da imagem):
Os pontos estão organizados em uma malha regular de paralelogramos com três linhas (inferior, média, superior) e cinco colunas.
Linha inferior (da esquerda para a direita): A,\;F,\;H,\;J,\;D.
Linha média (da esquerda para a direita): K,\;L,\;M,\;N,\;P.
Linha superior (da esquerda para a direita): B,\;E,\;G,\;I,\;C.
Em cada coluna, o ponto da linha média é exatamente o ponto médio do segmento que liga o ponto da linha inferior ao ponto da linha superior (isto é, o ponto da linha média fica a meio caminho entre o correspondente inferior e superior).
A base indicada é \big(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}\big); vou usar isso explicitamente mais adiante.
Passo 2
O que significa “coordenadas de um vetor em relação a uma base” (explicação didática curta):
Dada uma base de vetores \big(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\big), as coordenadas de um vetor \overrightarrow{w} nessa base são os escalares a e b tais que
Aqui a base é \big(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}\big). Vou chamar \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{u} e \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{v} para simplificar a notação. Nosso objetivo é achar x e y tais que
Estratégia prática: escrever as posições dos pontos F e M como combinações de \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} com origem em A, e então calcular \overrightarrow{M F}=\overrightarrow{A F}-\overrightarrow{A M}.
Passo 3
Expressar as posições dos pontos em função de \overrightarrow{u}=\overrightarrow{A F} e \overrightarrow{v}=\overrightarrow{A B} (uso explícito da informação da imagem sobre a malha):
Tomando A como origem (vetor-nulo), o ponto F está uma unidade de \overrightarrow{u} à direita de A. Logo
\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{u}.
Observando as colunas, os pontos da linha inferior têm coordenadas em u com incrementos inteiros: A=0\cdot\overrightarrow{u}, F=1\cdot\overrightarrow{u}, H=2\cdot\overrightarrow{u}, etc.
Pela informação da imagem, cada ponto da linha média é o ponto médio entre o ponto da linha inferior e o da linha superior na mesma coluna. Assim, para a terceira coluna (onde está M na linha média e H na linha inferior, G na linha superior) vale:
posição de H: \overrightarrow{A H}=2\,\overrightarrow{u}.
posição de M: é o ponto médio entre H e G. Como G tem posição \overrightarrow{A G}=2\,\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} (mesma coluna que H mais o vetor vertical \overrightarrow{v}), o ponto médio tem posição
Substituindo as expressões em \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} (veja que peguei \overrightarrow{A F}=\overrightarrow{u} e \overrightarrow{A M}=2\overrightarrow{u}+\tfrac{1}{2}\overrightarrow{v} da construção acima):
Portanto os coeficientes na combinação \overrightarrow{M F}=x\,\overrightarrow{u}+y\,\overrightarrow{v} são
x=-1,\qquad y=-\tfrac{1}{2}.
Passo 5
Interpretação e dica rápida para a prova (como aplicar o raciocínio em outros casos):
O raciocínio foi: colocar A como origem, escrever as posições de F e M em função de \overrightarrow{A F} e \overrightarrow{A B} usando a malha regular, e então fazer a diferença. Em geral, para malhas regulares conte quantos passos em \overrightarrow{A F} (colunas) e que fração de \overrightarrow{A B} (linhas) cada ponto representa; isso facilita obter as coordenadas sem cálculo pesado.
Não esqueça: sempre que a imagem mostrar um ponto médio, isso introduz fator \tfrac{1}{2} nas coordenadas — foi o caso de M.