Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}). \overrightarrow{M H}
Passo 1
O que o enunciado pede:
Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{MH} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}).
Informações relevantes extraídas do enunciado e da figura (peguei estes posicionamentos na imagem):
Os pontos estão dispostos em uma grade regular de paralelogramos com colunas e linhas alinhadas.
Na mesma coluna (vertical da grade) estão os pontos \,H, M, G\, (da linha inferior para a superior).
Na mesma linha inferior estão os pontos \,A, F, H, J, D\, (da esquerda para a direita).
Na mesma linha do meio estão os pontos \,K, L, M, N, P\, (da esquerda para a direita).
A base usada é (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}): mover de uma coluna para a coluna imediatamente à direita corresponde a \overrightarrow{AF}; mover de uma linha para a linha imediatamente acima corresponde a \overrightarrow{AB}.
Passo 2
O que significa "coordenadas de um vetor em relação à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB})"?
Interpretando geometricamente: x conta quantos passos na direção “coluna à direita” (\overrightarrow{AF}) e y conta quantos passos na direção “linha acima” (\overrightarrow{AB}) são necessários para obter \overrightarrow{MH}.
Método prático e muito usado: representar as posições dos pontos M e H em relação a A (ou seja \overrightarrow{AM} e \overrightarrow{AH}) como combinações de \overrightarrow{AF} e \overrightarrow{AB}, e então usar
Subtrair \overrightarrow{AM} de \overrightarrow{AH} dá \overrightarrow{MH} por relação vetorial.
Passo 3
Determinar \overrightarrow{AM} e \overrightarrow{AH} contando passos na grade (dados tomados da imagem).
Para ir de A até M é preciso: avançar duas colunas à direita (do A para F é uma coluna, de F para a coluna de H/M é outra) e subir uma linha (de linha inferior para linha do meio). Assim,
Portanto os coeficientes (as coordenadas) em relação à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}) são 0 para \overrightarrow{AF} e -1 para \overrightarrow{AB}.
Passo 5
Interpretação final e uma intuição rápida:
\overrightarrow{MH} é exatamente um passo para baixo na mesma coluna, ou seja, o oposto de \overrightarrow{AB}. Por isso só tem componente na direção \overrightarrow{AB} e essa componente é -1.
Fica mais fácil em prova: conte colunas (coeficiente de \overrightarrow{AF}) e linhas (coeficiente de \overrightarrow{AB}).