Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M H}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{MH} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}).
Informações relevantes extraídas do enunciado e da figura (peguei estes posicionamentos na imagem):
  • Os pontos estão dispostos em uma grade regular de paralelogramos com colunas e linhas alinhadas.
  • Na mesma coluna (vertical da grade) estão os pontos \,H, M, G\, (da linha inferior para a superior).
  • Na mesma linha inferior estão os pontos \,A, F, H, J, D\, (da esquerda para a direita).
  • Na mesma linha do meio estão os pontos \,K, L, M, N, P\, (da esquerda para a direita).
  • A base usada é (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}): mover de uma coluna para a coluna imediatamente à direita corresponde a \overrightarrow{AF}; mover de uma linha para a linha imediatamente acima corresponde a \overrightarrow{AB}.

Passo 2

O que significa "coordenadas de um vetor em relação à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB})"?
  • Procuramos números reais x e y tais que
\overrightarrow{MH}=x\,\overrightarrow{AF}+y\,\overrightarrow{AB}.
  • Interpretando geometricamente: x conta quantos passos na direção “coluna à direita” ( \overrightarrow{AF}) e y conta quantos passos na direção “linha acima” ( \overrightarrow{AB}) são necessários para obter \overrightarrow{MH}.
  • Método prático e muito usado: representar as posições dos pontos M e H em relação a A (ou seja \overrightarrow{AM} e \overrightarrow{AH}) como combinações de \overrightarrow{AF} e \overrightarrow{AB}, e então usar
\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AM}.
Explicando cada símbolo:
  • \overrightarrow{AM} é o vetor que vai de A até M.
  • \overrightarrow{AH} é o vetor que vai de A até H.
  • Subtrair \overrightarrow{AM} de \overrightarrow{AH} \overrightarrow{MH} por relação vetorial.

Passo 3

Determinar \overrightarrow{AM} e \overrightarrow{AH} contando passos na grade (dados tomados da imagem).
  • Para ir de A até M é preciso: avançar duas colunas à direita (do A para F é uma coluna, de F para a coluna de H/M é outra) e subir uma linha (de linha inferior para linha do meio). Assim,
\overrightarrow{AM}=2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}.
  • Para ir de A até H é preciso: avançar duas colunas à direita e permanecer na linha inferior (nenhum passo para cima). Assim,
\overrightarrow{AH}=2\,\overrightarrow{AF}+0\,\overrightarrow{AB}.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{MH} pela diferença
\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AM}.
Substituindo os resultados do passo anterior:
\overrightarrow{MH}=(2\,\overrightarrow{AF}+0\,\overrightarrow{AB})-(2\,\overrightarrow{AF}+1\,\overrightarrow{AB}) =0\cdot\overrightarrow{AF}-1\cdot\overrightarrow{AB}.
Portanto os coeficientes (as coordenadas) em relação à base (\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AB}) são 0 para \overrightarrow{AF} e -1 para \overrightarrow{AB}.

Passo 5

Interpretação final e uma intuição rápida:
  • \overrightarrow{MH} é exatamente um passo para baixo na mesma coluna, ou seja, o oposto de \overrightarrow{AB}. Por isso só tem componente na direção \overrightarrow{AB} e essa componente é -1.
  • Fica mais fácil em prova: conte colunas (coeficiente de \overrightarrow{AF}) e linhas (coeficiente de \overrightarrow{AB}).

Resposta

\begin{pmatrix}0\\\ -1\end{pmatrix}

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