Exercício 1. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{A B}).
\overrightarrow{M K}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \overrightarrow{M K} em relação à base \underset{\longrightarrow}{\mathcal{B}}=(\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}). Ou seja, encontrar x e y tais que
\overrightarrow{M K}=x\,\overrightarrow{A F}+y\,\overrightarrow{A B}.
Peguei da imagem a disposição dos pontos (grade de paralelogramos) e as posições relativas dos pontos rotulados; essas informações serão usadas para expressar as posições de M e K em coordenadas na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}).

Passo 2

Conceito importante (rápido e prático): se um ponto X tem coordenadas (a,b) na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}), isso significa que
\overrightarrow{A X}=a\,\overrightarrow{A F}+b\,\overrightarrow{A B}.
Para obter o vetor entre dois pontos U e V usamos a identidade
\overrightarrow{U V}=\overrightarrow{A V}-\overrightarrow{A U}.
Aplicando isto ao caso pedido, com U=M e V=K,
\overrightarrow{M K}=\overrightarrow{A K}-\overrightarrow{A M}.
Logo, se conseguimos as coordenadas de \overrightarrow{A M} e \overrightarrow{A K} na base (\overrightarrow{A F},\overrightarrow{A B}), subtraímos componente a componente para obter as coordenadas de \overrightarrow{M K}.

Passo 3

Interpretando a grade da imagem (peguei estes dados da imagem): existem três linhas horizontais “espalhadas” (inferior, média e superior) e cinco colunas. Tomando \overrightarrow{A F} como um passo horizontal para a direita (uma unidade em x) e \overrightarrow{A B} como um passo vertical para cima (uma unidade em y), os pontos têm as seguintes coordenadas relativas à origem A:
  • Linha inferior: A=(0,0), F=(1,0), H=(2,0), J=(3,0), D=(4,0).
  • Linha média: K=(0,\tfrac{1}{2}), L=(1,\tfrac{1}{2}), M=(2,\tfrac{1}{2}), N=(3,\tfrac{1}{2}), P=(4,\tfrac{1}{2}).
  • Linha superior: B=(0,1), E=(1,1), G=(2,1), I=(3,1), C=(4,1).
Portanto, em particular temos
\overrightarrow{A M} = 2\,\overrightarrow{A F}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B} \quad\text{e}\quad \overrightarrow{A K} = 0\,\overrightarrow{A F}+\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{A B}.

Passo 4

Subtraindo componente a componente conforme a fórmula do Passo 2,
\overrightarrow{M K}=\overrightarrow{A K}-\overrightarrow{A M} = \big(0-2\big)\,\overrightarrow{A F}+\Big(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}\Big)\,\overrightarrow{A B}.
Logo
\overrightarrow{M K} = -2\,\overrightarrow{A F} + 0\,\overrightarrow{A B}.
Geometricamente: ao ir de M para K move-se duas unidades para a esquerda ao longo da direção de \overrightarrow{A F} e não há componente na direção de \overrightarrow{A B}.

Resposta

\displaystyle (-2,0)

Exercícios relacionados