Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
  1. x^2-x+32 y^2+7 y=c

Passo 1

O enunciado nos leva à equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
em que identificamos
M(x,y) = 2x - 1, N(x,y) = 3y + 7
O conteúdo é exatidão de equações diferenciais; vamos primeiro checar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=M, partial psipartial y=N

Passo 2

Calcular as derivadas parciais cruzadas para testar exatidão:
partial Mpartial y = partialpartial y(2x-1) = 0,
partial Npartial x = partialpartial x(3y+7) = 0
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Construir a função potencial psi(x,y) integrando M em relação a x:
psi(x,y) = integral (2x - 1),dx = x^2 - x + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Determinar h(y) usando partial psi/partial y = N:
partial psipartial y = h'(y) stackrel!= 3y + 7 Longrightarrow h'(y) = 3y + 7 Longrightarrow h(y) = 32y^2 + 7y + k,
sendo k constante que absorvemos no lado direito da solução geral.

Passo 5

Reescrevendo psi(x,y) e igualando a uma constante C, obtemos a solução implícita:
psi(x,y) = x^2 - x + 32y^2 + 7y = C

Resposta

x^2 - x + tfrac32y^2 + 7y = C

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