Exercício 3. Determine d zd t utilizando a regra da cadeia.
z=5 x y+x^2-y^2, x=t^2-1, y=t+2

Passo 1

O enunciado define
z=5xy + x^2 - y^2
com
x = t^2 - 1 e y = t + 2,
e pede dfracdzdt usando a regra da cadeia de funções de duas variáveis.

Passo 2

Pela regra da cadeia em multivariáveis, temos
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt
Como x(t)=t^2-1 e y(t)=t+2, calculamos
dxdt=2t, dydt=1

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x =5y + 2x, partial zpartial y =5x - 2y

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra da cadeia, obtemos
dzdt =(5y+2x),2t + (5x-2y)cdot1

Passo 5

Por fim, substituímos x=t^2-1 e y=t+2 e simplificamos:
5y+2x = 5(t+2)+2(t^2-1) =2t^2+5t+8,
5x-2y = 5(t^2-1)-2(t+2) =5t^2-2t-9
Logo,
dzdt =(2t^2+5t+8),2t + (5t^2-2t-9) =4t^3+10t^2+16t +5t^2-2t-9 =4t^3+15t^2+14t-9

Resposta

dzdt = 4t^3 + 15t^2 + 14t - 9

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