1. integral(x^3+3)^1 / 4 x^5 d x

Passo 1

O exercício pede que a gente calcule
integral (x^3+3)^tfrac14,x^5,dx.
Isso é uma integral de função composta: conteúdo principal é u-substituição (trocar parte da integral por uma nova variável) e depois usar a regra de potência pra integrar potências de u.

Passo 2

Bora escolher a substituição que simplifica o “x³+3” dentro da raiz:
u = x^3 + 3
Derivando em relação a x:
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3

Passo 3

A integral original tem x^5,dx, que dá pra escrever como
x^5,dx = x^3cdot x^2,dx
Como x^3 = u - 3, fica
x^5,dx = (u - 3),du3
E (x^3+3)^1/4 = u^1/4. Então a integral vira
integral (x^3+3)^tfrac14 x^5,dx = integral u^tfrac14,u - 33,du = 13,integrall(u^5/4-3u^1/4r),du
Aqui usamos a regra de potência: integral u^n,du = u^n+1n+1.

Passo 4

Agora é só integrar termo a termo:
13integral u^5/4,du = 13,u^9/49/4 e 13integral 3u^1/4,du = 13cdot3cdotu^5/45/4
Fazendo as contas:
13,u^9/49/4 = 427u^9/4, 13cdot3cdotu^5/45/4 = 45u^5/4
Logo a antiderivada em função de u é
427u^9/4 ;-;45u^5/4 ;+;C

Passo 5

Volta pra x trocando u por x^3+3:
427(x^3+3)^9/4 ;-; 45(x^3+3)^5/4 ;+; C

Resposta

427(x^3+3)^tfrac94 ;-;45(x^3+3)^tfrac54 + C.

Exercícios relacionados