Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
9. x y^3+y^2 cos x-12 x^2=c

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde, a partir da solução implícita fornecida
x y^3 + y^2cos x - tfrac12 x^2 = C,
podemos identificar
M(x,y) = partialpartial xl(x y^3 + y^2cos x - tfrac12 x^2r) = y^3 - y^2sin x - x,
N(x,y) = partialpartial yl(x y^3 + y^2cos x - tfrac12 x^2r) = 3x y^2 + 2ycos x
O conteúdo é equações diferenciais exatas; vamos verificar a exatidão e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial.

Passo 2

Verificamos se é exata: calculamos
partial Mpartial y = 3y^2 - 2ysin x, partial Npartial x = 3y^2 + 2y(-sin x) = 3y^2 - 2ysin x
Como
partial Mpartial y = partial Npartial x,
a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x = M(x,y),
portanto integramos M em relação a x:
Phi(x,y) = integral l(y^3 - y^2sin x - xr),dx = x y^3 + y^2cos x - tfrac12 x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo
partial Phipartial y = 3x y^2 + 2ycos x + h'(y) stackrel!= N(x,y) = 3x y^2 + 2ycos x,
vemos que h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
x y^3 + y^2cos x - tfrac12 x^2 = C,
com C constante de integração.

Exercícios relacionados