(Vunesp-SP) Se a, b, c são números reais tais que a x^2+b(x+1)^2+c(x+2)^2=(x+3)^2 para todo x real, então o valor de a - b + c é
a) -5
b) -1
c) 1
d) 3
e) 7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação envolvendo polinômios do segundo grau. A gente tem que descobrir o valor de a - b + c sabendo que a x^2 + b(x+1)^2 + c(x+2)^2 = (x+3)^2 para todo número real x . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de identidades de polinômios, que diz que se dois polinômios são iguais para todo x , então os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir todos os termos da equação para facilitar a comparação dos coeficientes. Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Expande (x+1)^2 :
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
  1. Expande (x+2)^2 :
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
  1. Expande (x+3)^2 :
(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9
Agora, substituímos essas expansões na equação original:
a x^2 + b(x^2 + 2x + 1) + c(x^2 + 4x + 4) = x^2 + 6x + 9

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes a , b e c dentro dos parênteses:
a x^2 + b x^2 + 2b x + b + c x^2 + 4c x + 4c = x^2 + 6x + 9
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(a + b + c) x^2 + (2b + 4c) x + (b + 4c) = x^2 + 6x + 9

Passo 4

Segundo a teoria das identidades de polinômios, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de x^2 :
a + b + c = 1
  1. Coeficiente de x :
2b + 4c = 6
  1. Termo constante:
b + 4c = 9

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela segunda e terceira equações:
Da equação 2:
2b + 4c = 6
Podemos dividir tudo por 2:
b + 2c = 3
Da equação 3:
b + 4c = 9
Agora, temos:
b + 2c = 3 b + 4c = 9
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
(b + 4c) - (b + 2c) = 9 - 3
2c = 6
c = 3
Agora, substituímos c = 3 na primeira equação:
b + 2(3) = 3
b + 6 = 3
b = -3

Passo 6

Agora que temos b = -3 e c = 3 , vamos substituir esses valores na primeira equação do sistema:
a + b + c = 1
a + (-3) + 3 = 1
a = 1

Resposta

Finalmente, temos a = 1 , b = -3 e c = 3 . Então:
a - b + c = 1 - (-3) + 3 = 1 + 3 + 3 = 7
Resposta correta: e) 7

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