(Vunesp-SP) Se
são números reais tais que
para todo
real, então o valor de a - b + c é
a) -5
b) -1
c) 1
d) 3
e) 7
a) -5
b) -1
c) 1
d) 3
e) 7
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver uma equação envolvendo polinômios do segundo grau. A gente tem que descobrir o valor de
sabendo que
para todo número real
. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de identidades de polinômios, que diz que se dois polinômios são iguais para todo
, então os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir todos os termos da equação para facilitar a comparação dos coeficientes. Vamos fazer isso passo a passo:
- Expande
:
- Expande
:
- Expande
:
Agora, substituímos essas expansões na equação original:
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes
,
e
dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Segundo a teoria das identidades de polinômios, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. Começamos pela segunda e terceira equações:
Da equação 2:
Podemos dividir tudo por 2:
Da equação 3:
Agora, temos:
Vamos subtrair a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos substituir esses valores na primeira equação do sistema:
Resposta
Finalmente, temos
,
e
. Então:
Resposta correta: e) 7