Exercício 1. Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função dada.
f(w, t)=t e^wt

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(w,t)=t,e^wt
Isso envolve dois cálculos distintos:
partial fpartial w , tratando t como constante (regra da cadeia).
partial fpartial t , tratando w como constante (regra do produto + regra da cadeia).

Passo 2

Para calcular
partial fpartial w,
mantemos t fixo e vemos que f(w,t)=tcdot e^w/t é um exponencial em w. Pela regra da cadeia,
– a derivada de e^w/t em relação a w é e^w/t vezes a derivada de tfracwt em relação a w, que vale tfrac1t.
Portanto,
partial fpartial w = t cdot e^wtcdot 1t = e^wt

Passo 3

Para calcular
partial fpartial t,
tratamos w como constante e aplicamos a regra do produto em f(w,t)=tcdot e^w/t:
1. Derivada de t é 1, multiplicada por e^w/t e^w/t.
2. Mais t vezes a derivada de e^w/t em relação a t. Usando regra da cadeia, essa derivada é
e^wt;times;ddtl(tfracwtr) = e^wt;times;l(-tfracwt^2r) = -,wt^2,e^wt
Somando as partes:
partial fpartial t = e^wt + t!l(-,wt^2e^wtr) = e^wt - wt,e^wt = e^wtl(1 - wtr)

Resposta

partial fpartial w(w,t) = e^wt
partial fpartial t(w,t) = e^wtl(1 - wtr)

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