- Seja
o vetor posição de um ponto
do
e represente por
sua norma. Se
é uma função real derivável, mostre que:
Passo 1
O enunciado nos dá o vetor posição
de um ponto
em
e define
Queremos calcular o gradiente de
, onde
é uma função real derivável. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e a definição de gradiente.
Passo 2
O gradiente de uma função escalar
é dado por
Aqui
. Pela regra da cadeia, cada componente é
e de modo análogo para as derivadas em
e em
.
Passo 3
Calculamos agora
. Como
temos
De forma idêntica,
Passo 4
Substituindo no gradiente de
, obtemos
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