1. Seja r=x i+y j+z k o vetor posição de um ponto P(x, y, z) do R^3 e represente por r sua norma. Se f(t) é uma função real derivável, mostre que:
nabla f(r)=f^prime(r) rr

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor posição
r=x,i+y,j+z,k
de um ponto P(x,y,z) em R^3 e define
r = |vec r| = raizx^2+y^2+z^2
Queremos calcular o gradiente de f(r), onde f é uma função real derivável. Para isso, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais e a definição de gradiente.

Passo 2

O gradiente de uma função escalar g(x,y,z) é dado por
nabla g = (partial gpartial x,,partial gpartial y,,partial gpartial z)
Aqui g(x,y,z)=f(r(x,y,z)). Pela regra da cadeia, cada componente é
partialpartial xf(r) = f'(r),partial rpartial x,
e de modo análogo para as derivadas em y e em z.

Passo 3

Calculamos agora partial r/partial x. Como
r = raizx^2+y^2+z^2 = (x^2+y^2+z^2)^1/2,
temos
partial rpartial x = 12(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot 2x = xr
De forma idêntica,
partial rpartial y=yr, partial rpartial z=zr

Passo 4

Substituindo no gradiente de f(r), obtemos
partialpartial xf(r) = f'(r),xr, partialpartial yf(r) = f'(r),yr, partialpartial zf(r) = f'(r),zr
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nabla f(r) = f'(r),gl(xr,yr,zrgr) = f'(r),vec rr

Resposta

nabla f(r)=f^prime(r),rr

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