Exercício 0.4 Determine o domínio das funções abaixo.
f(x)=\ln \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f(x)=\ln\sqrt{x}.
Informações dadas: a função é dada por f(x)=\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Objetivo claro: encontrar todos os valores reais de x para os quais f(x) está bem definida (no conjunto dos números reais).

Passo 2

Relembrando as condições necessárias para as operações envolvidas (fundamentos que vou usar):
  • A função logaritmo natural \ln(y) está definida para argumentos y estritamente positivos, ou seja, é preciso ter y>0.
  • A raiz quadrada real \sqrt{x} está definida (como número real) apenas quando o radicando é maior ou igual a zero, ou seja, quando x\ge 0. Além disso \sqrt{x}\ge 0 para x\ge 0, e \sqrt{x}=0 exatamente quando x=0.

Passo 3

Aplicando essas condições ao nosso caso: o argumento do \ln é \sqrt{x}. Portanto é necessário que
\sqrt{x}>0.
Mas sabemos que \sqrt{x}\ge 0 somente para x\ge 0, e que \sqrt{x}=0 quando x=0. Como precisamos de \sqrt{x}>0, devemos excluir x=0. Além disso, para x<0 a expressão \sqrt{x} não é real, então esses x também são proibidos. Assim a condição se reduz a
x>0.

Passo 4

Outra forma de ver (útil para prova): quando x>0 pode-se usar a propriedade dos logaritmos
\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\ln\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\ln x,
mas essa manipulação só vale se \ln x estiver definido, isto é, se x>0. Isso confirma a condição anterior.

Passo 5

Conclusão final: o domínio da função é o conjunto de todos os números reais estritamente positivos.

Resposta

(0,\infty)

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