Exercício 0.4 Determine o domínio das funções abaixo.
f(x)=\log _{x+1}\left(2 x^{2}-5 x+2\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\log_{x+1}\left(2x^{2}-5x+2\right) e pede: determinar o domínio de f.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
  • A base do logaritmo é x+1.
  • O argumento do logaritmo é 2x^{2}-5x+2.
Condições que devem ser satisfeitas (isto é parte do que o enunciado nos exige verificar para que f(x) esteja bem definida):
  • a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1;
  • o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo.

Passo 2

Traduzindo a primeira condição em desigualdades sobre x.
A base é x+1. Como a base precisa ser positiva e diferente de 1, temos duas restrições:
x+1>0
e
x+1\neq 1.
Resolvendo cada uma:
x+1>0\quad\Rightarrow\quad x>-1.
x+1\neq 1\quad\Rightarrow\quad x\neq 0.
Explicação didática curta: o logaritmo com base negativa não é definido no conjunto dos reais (porque a função b^{y} com b<0 não gera uma função contínua real bem comportada), e base igual a 1 é proibida porque 1^{y}=1 para todo y, o que não permite inversão. Por isso exigimos x>-1 e x\neq 0.

Passo 3

Agora a segunda condição: o argumento deve ser positivo:
2x^{2}-5x+2>0.
Para resolver essa desigualdade, primeiro encontramos as raízes do polinômio quadrático. Calcula-se o discriminante:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2 = 25-16 = 9.
As raízes são
x=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}.
Portanto as raízes são
x=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{5+3}{4}=2.
Com essas raízes podemos fatorar o polinômio:
2x^{2}-5x+2 = 2\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-2).
Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( 2>0), a parábola abre para cima; logo o polinômio é positivo para x fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro desse intervalo. Assim
2x^{2}-5x+2>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{1}{2}\\ \text{ou}\\ x>2.

Passo 4

Agora intersectamos as restrições das Passo 2 e Passo 3 para obter o domínio final.
As restrições são:
  • x>-1 e x\neq 0 (da base),
  • x<\tfrac{1}{2} ou x>2 (do argumento).
Interseção por partes:
  • Para a parte x<\tfrac{1}{2}: intersectando com x>-1 -1<x<\tfrac{1}{2}. Ainda precisamos excluir x=0, então dessa parte sobram os intervalos (-1,0) e (0,\tfrac{1}{2}).
  • Para a parte x>2: intersectando com x>-1 mantém (2,\infty); a condição x\neq 0 não afeta essa parte.
Também é útil verificar os pontos limites para justificar exclusões:
  • x=-1 daria base 0 (proibido);
  • x=0 daria base 1 (proibido);
  • x=\tfrac{1}{2} e x=2 tornam o argumento igual a 0 (proibido porque o logaritmo exige argumento positivo).
Portanto o domínio é a união dos intervalos obtidos:
(-1,0)\cup(0,\tfrac{1}{2})\cup(2,\infty).

Passo 5

Pequenas verificações para firmar a intuição (opcionais, mas ajudam a confiar na resposta):
  • Escolhendo x=-\tfrac{1}{2}\in(-1,0): a base x+1=\tfrac{1}{2} (positiva e diferente de 1) e o argumento 2x^{2}-5x+2>0 — portanto vale.
  • Escolhendo x=1 (entre \tfrac{1}{2} e 2): o argumento é 2-5+2=-1<0 — portanto fora do domínio.
  • Escolhendo x=3\in(2,\infty): base 4 e argumento positivo — dentro do domínio.

Resposta

(-1,0)\cup(0,\tfrac{1}{2})\cup(2,\infty)

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