Exercício 0.4 Determine o domínio das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar o domínio de
.
Informações relevantes que vêm do enunciado:
- A base do logaritmo é
. - O argumento do logaritmo é
.
Condições que devem ser satisfeitas (isto é parte do que o enunciado nos exige verificar para que
esteja bem definida):
- a base do logaritmo deve ser positiva e diferente de
; - o argumento do logaritmo deve ser estritamente positivo.
Passo 2
Traduzindo a primeira condição em desigualdades sobre
.
A base é
. Como a base precisa ser positiva e diferente de
, temos duas restrições:
e
Resolvendo cada uma:
Explicação didática curta: o logaritmo com base negativa não é definido no conjunto dos reais (porque a função
com
não gera uma função contínua real bem comportada), e base igual a
é proibida porque
para todo
, o que não permite inversão. Por isso exigimos
e
.
Passo 3
Agora a segunda condição: o argumento deve ser positivo:
Para resolver essa desigualdade, primeiro encontramos as raízes do polinômio quadrático. Calcula-se o discriminante:
As raízes são
Portanto as raízes são
Com essas raízes podemos fatorar o polinômio:
Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima; logo o polinômio é positivo para
fora do intervalo entre as raízes e negativo dentro desse intervalo. Assim
Passo 4
Agora intersectamos as restrições das Passo 2 e Passo 3 para obter o domínio final.
As restrições são:
-
e (da base), -
ou (do argumento).
Interseção por partes:
- Para a parte
: intersectando com dá . Ainda precisamos excluir , então dessa parte sobram os intervalos e . - Para a parte
: intersectando com mantém ; a condição não afeta essa parte.
Também é útil verificar os pontos limites para justificar exclusões:
-
daria base (proibido); -
daria base (proibido); -
e tornam o argumento igual a (proibido porque o logaritmo exige argumento positivo).
Portanto o domínio é a união dos intervalos obtidos:
Passo 5
Pequenas verificações para firmar a intuição (opcionais, mas ajudam a confiar na resposta):
- Escolhendo
: a base (positiva e diferente de ) e o argumento — portanto vale. - Escolhendo
(entre e ): o argumento é — portanto fora do domínio. - Escolhendo
: base e argumento positivo — dentro do domínio.