Exercício 0.1 Encontre uma fórmula para a função inversa de cada função dada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: “Encontre uma fórmula para a função inversa”. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma exponencial com base
deslocada verticalmente para cima em . - A variável independente original é
e a dependente é . - A tarefa é achar
, a função que “desfaz” .
Passo 2
Entendendo o que é função inversa de modo simples e prático:
- Uma função inversa troca entradas por saídas: se
, então . - Para achar a fórmula da inversa, a estratégia padrão é: isolar
em termos de e depois trocar os nomes e . - Importante: só existe inversa (no sentido de função) se a função original for um-para-um. Aqui
é estritamente crescente, então também é estritamente crescente — portanto é invertível. Isso garante que a inversa exista.
Passo 3
Isolar a parte exponencial da equação para poder aplicar o logaritmo:
Subtraindo
dos dois lados:
Observação sobre domínio/alcance: da fórmula
segue que
, isto é,
. Então a imagem (range) de
é
. Isso significa que a inversa só faz sentido para argumentos maiores que
.
Passo 4
Aplicar o logaritmo de base
, que é a operação inversa da exponenciação com base
. Lembrete pedagógico sobre logaritmo:
- Definição:
é o número que satisfaz . - Propriedade útil: se
então .
Aplicando
em ambos os lados de
dá
Portanto encontramos
em função de
:
Passo 5
Trocar os nomes das variáveis para escrever a fórmula da inversa: substitui-se
por
e
por
. Assim a função inversa é
Observações práticas:
- A expressão equivalente, útil se só houver calculadora com log natural, é
pois
.
- Domínio da inversa:
(ou seja, ). Contradomínio da inversa (que é o domínio da função original): . - Checagem rápida com um exemplo numérico: se
na função original, . Aplicando a inversa em : . Perfeito — volta ao valor original.