Exercício 0.1 Encontre uma fórmula para a função inversa de cada função dada.
y=2^{x}+2

Passo 1

O enunciado dá a função
y=2^{x}+2
e pede: “Encontre uma fórmula para a função inversa”. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma exponencial com base 2 deslocada verticalmente para cima em 2.
  • A variável independente original é x e a dependente é y.
  • A tarefa é achar f^{-1}, a função que “desfaz” f.

Passo 2

Entendendo o que é função inversa de modo simples e prático:
  • Uma função inversa troca entradas por saídas: se f(a)=b, então f^{-1}(b)=a.
  • Para achar a fórmula da inversa, a estratégia padrão é: isolar x em termos de y e depois trocar os nomes x e y.
  • Importante: só existe inversa (no sentido de função) se a função original for um-para-um. Aqui 2^{x} é estritamente crescente, então 2^{x}+2 também é estritamente crescente — portanto é invertível. Isso garante que a inversa exista.

Passo 3

Isolar a parte exponencial da equação para poder aplicar o logaritmo:
y = 2^{x} + 2
Subtraindo 2 dos dois lados:
y-2 = 2^{x}.
Observação sobre domínio/alcance: da fórmula \,y-2=2^{x}\, segue que y-2>0, isto é, y>2. Então a imagem (range) de f é (2,\infty). Isso significa que a inversa só faz sentido para argumentos maiores que 2.

Passo 4

Aplicar o logaritmo de base 2, que é a operação inversa da exponenciação com base 2. Lembrete pedagógico sobre logaritmo:
  • Definição: \log_2 t é o número que satisfaz 2^{\log_2 t}=t.
  • Propriedade útil: se a^{u}=v então u=\log_a v.
Aplicando \log_2 em ambos os lados de \,y-2=2^{x}\,
\log_2(y-2)=\log_2(2^{x})=x.
Portanto encontramos x em função de y:
x=\log_2(y-2).

Passo 5

Trocar os nomes das variáveis para escrever a fórmula da inversa: substitui-se x por y e y por x. Assim a função inversa é
f^{-1}(x)=\log_2(x-2).
Observações práticas:
  • A expressão equivalente, útil se só houver calculadora com log natural, é
f^{-1}(x)=\frac{\ln(x-2)}{\ln 2},
pois \log_2 t=\dfrac{\ln t}{\ln 2}.
  • Domínio da inversa: x>2 (ou seja, (2,\infty)). Contradomínio da inversa (que é o domínio da função original): (-\infty,\infty).
  • Checagem rápida com um exemplo numérico: se x=3 na função original, f(3)=2^{3}+2=8+2=10. Aplicando a inversa em 10: f^{-1}(10)=\log_2(10-2)=\log_2(8)=3. Perfeito — volta ao valor original.

Resposta

f^{-1}(x)=\log_2(x-2)

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