Exercício 0.1 Encontre uma fórmula para a função inversa de cada função dada.
y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+\pi

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a fórmula da função inversa da função dada. A função fornecida é
y=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}+\pi.
Informações importantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • A expressão da função em termos de x e y é \;y=(\tfrac{1}{2})^{x}+\pi.
  • O domínio natural da função (valores de x que podem entrar) é todo \mathbb{R} porque (\tfrac{1}{2})^{x} está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • O termo (\tfrac{1}{2})^{x} é sempre positivo, então os valores de y são sempre maiores que \pi; portanto o contradomínio efetivo (a imagem) é (\pi,\infty).
  • O que se quer: uma fórmula que dê x em função de y, e normalmente escrever essa fórmula como f^{-1} trocando a variável independente para x.

Passo 2

Isolar a potência exponencial para começar a “desfazer” a função. Partindo de
y=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}+\pi,
subtraímos \pi dos dois lados para obter a potência sozinha:
y-\pi=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}.
Observação importante de domínio: como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}>0 para todo x, o lado esquerdo exige y-\pi>0, ou seja y>\pi. Isso confirma a restrição na variável de entrada da inversa.

Passo 3

Explicar como “inverter” uma exponencial: usamos logaritmos. Lembrete curto sobre logaritmos (aula rápida):
  • A definição: \log_{a}(b)=c significa que a^{c}=b.
  • Para resolver uma equação do tipo a^{x}=B com a>0, a\neq1, podemos tomar logaritmo em qualquer base (por exemplo o logaritmo natural \ln) e usar a propriedade
\ln(a^{x})=x\ln a.
Essa propriedade vem da definição de \ln e da regra de potências.
Aplicando \ln à equação isolada \;y-\pi=(\tfrac{1}{2})^{x}, obtemos
\ln(y-\pi)=\ln\!\left(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x}\right).
Pela propriedade da potência dentro do logaritmo:
\ln(y-\pi)=x\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right).

Passo 4

Despejando x da equação anterior para escrever a inversa:
x=\frac{\ln(y-\pi)}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.
Aqui é importante notar que \ln(\tfrac{1}{2})<0. Isso indica que a função original é estritamente decrescente (porque a base \tfrac{1}{2} está entre 0 e 1) e a inversa também será decrescente quando vista em termos usuais de variável independente. Mas a fórmula acima é válida e bem definida desde que y-\pi>0, isto é, para y>\pi.

Passo 5

Trocar nomes de variáveis para a notação padrão da inversa: normalmente escrevemos a inversa como f^{-1}(x), onde a variável de entrada da inversa é chamada de x. Então substituímos o papel de y por x na fórmula final, obtendo
f^{-1}(x)=\frac{\ln(x-\pi)}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)},
com domínio de f^{-1} sendo x>\pi e imagem \mathbb{R}. Alternativamente, pode-se escrever usando logaritmo na base \tfrac{1}{2}:
f^{-1}(x)=\log_{1/2}(x-\pi).

Passo 6

Verificação rápida (composição) para ganhar confiança: compute f(f^{-1}(x)) para x>\pi.
Primeiro f^{-1}(x)=\dfrac{\ln(x-\pi)}{\ln(\tfrac{1}{2})}. Então
f\big(f^{-1}(x)\big)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\frac{\ln(x-\pi)}{\ln(\tfrac{1}{2})}}+\pi.
Usando a identidade a^{\frac{\ln B}{\ln a}}=B (porque \frac{\ln B}{\ln a}=\log_{a}B), o termo exponencial vira x-\pi. Logo
f\big(f^{-1}(x)\big)=x-\pi+\pi=x,
para todo x>\pi. Isso confirma que a fórmula encontrada é de fato a inversa correta no domínio apropriado.

Resposta

f^{-1}(x)=\frac{\ln(x-\pi)}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}

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