Exercício 0.1 Encontre uma fórmula para a função inversa de cada função dada.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a fórmula da função inversa da função dada. A função fornecida é
Informações importantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
- A expressão da função em termos de
e é . - O domínio natural da função (valores de
que podem entrar) é todo porque está definido para todo . - O termo
é sempre positivo, então os valores de são sempre maiores que ; portanto o contradomínio efetivo (a imagem) é . - O que se quer: uma fórmula que dê
em função de , e normalmente escrever essa fórmula como trocando a variável independente para .
Passo 2
Isolar a potência exponencial para começar a “desfazer” a função. Partindo de
subtraímos
dos dois lados para obter a potência sozinha:
Observação importante de domínio: como
para todo
, o lado esquerdo exige
, ou seja
. Isso confirma a restrição na variável de entrada da inversa.
Passo 3
Explicar como “inverter” uma exponencial: usamos logaritmos. Lembrete curto sobre logaritmos (aula rápida):
- A definição:
significa que . - Para resolver uma equação do tipo
com , , podemos tomar logaritmo em qualquer base (por exemplo o logaritmo natural ) e usar a propriedade
Essa propriedade vem da definição de
e da regra de potências.
Aplicando
à equação isolada
, obtemos
Pela propriedade da potência dentro do logaritmo:
Passo 4
Despejando
da equação anterior para escrever a inversa:
Aqui é importante notar que
. Isso indica que a função original é estritamente decrescente (porque a base
está entre 0 e 1) e a inversa também será decrescente quando vista em termos usuais de variável independente. Mas a fórmula acima é válida e bem definida desde que
, isto é, para
.
Passo 5
Trocar nomes de variáveis para a notação padrão da inversa: normalmente escrevemos a inversa como
, onde a variável de entrada da inversa é chamada de
. Então substituímos o papel de
por
na fórmula final, obtendo
com domínio de
sendo
e imagem
. Alternativamente, pode-se escrever usando logaritmo na base
:
Passo 6
Verificação rápida (composição) para ganhar confiança: compute
para
.
Primeiro . Então
Primeiro
Usando a identidade
(porque
), o termo exponencial vira
. Logo
para todo
. Isso confirma que a fórmula encontrada é de fato a inversa correta no domínio apropriado.