Exercício 2. Determine se as equações formam um sistema linear. Caso seja um sistema linear, verifique se é consistente ou incousistente.
ll2 x1 & -x4 -x1+5 x2+3 x3-2 x4 & =-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se as equações que temos formam um sistema linear. Se formar, também precisamos ver se esse sistema é consistente ou inconsistente. Para isso, vamos trabalhar com álgebra linear, que é a parte da matemática que estuda sistemas de equações lineares. Precisamos entender bem como identificar sistemas lineares e aplicar métodos para verificar a consistência deles.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações que temos:
ll 2x1 - x4 &= 0 - x1 + 5x2 + 3x3 - 2x4 &= -1
Notei que na primeira equação o lado direito estava faltando, então coloquei como igual a zero para completar.

Passo 3

Agora, vamos confirmar se isso é realmente um sistema linear. Um sistema é linear se todas as equações são do primeiro grau, ou seja, os termos das incógnitas aparecem apenas com expoente 1 e sem multiplicação entre si.
Na primeira equação: 2x1 - x4 = 0 – está linear.
Na segunda equação: -x1 + 5x2 + 3x3 - 2x4 = -1 – também está linear.
Então, sim, as equações formam um sistema linear.

Passo 4

Agora que sabemos que é um sistema linear, precisamos verificar se ele é consistente ou inconsistente. Um sistema é consistente se existir pelo menos uma solução que satisfaz todas as equações simultaneamente. Caso contrário, é inconsistente.
Para isso, podemos montar a matriz aumentada do sistema e reduzir para a forma escalonada.
A matriz aumentada fica assim:
2 & 0 & 0 & -1 & | & 0 -1 & 5 & 3 & -2 & | & -1

Passo 5

Vamos aplicar operações de linha para simplificar a matriz. Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1 dividindo toda a primeira linha por 2:
1 & 0 & 0 & -0.5 & | & 0 -1 & 5 & 3 & -2 & | & -1

Passo 6

Agora, vamos eliminar o -1 na segunda linha da primeira coluna. Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + Linha 1
1 & 0 & 0 & -0.5 & | & 0 0 & 5 & 3 & -2.5 & | & -1

Passo 7

Agora, temos duas equações simplificadas:
  1. x1 - 0.5x4 = 0
  2. 5x2 + 3x3 - 2.5x4 = -1
Podemos ver que temos mais incógnitas do que equações, o que significa que existem infinitas soluções. Ou seja, o sistema é consistente e indeterminado.

Resposta

As equações formam um sistema linear consistente, com infinitas soluções.

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