Verifique que as seguintes funções não são tranformações lineares:
dada por
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede para verificar que ela não é uma transformação linear. Vamos lembrar que, para ser linear, uma aplicação
deve satisfazer duas propriedades para todo
e todo escalar
:
.
(additividade)
.
(homogeneidade)
Passo 2
Escolhemos mostrar que a propriedade de additividade falha. Se encontrarmos
tais que
já basta para concluir que
não é linear, sem precisarmos nem checar homogeneidade.
Passo 3
Considere
ou seja,
a matriz identidade. Então:
Calculamos
porém
Como
, a additividade falha.]
Passo 4
Porque
para
, concluímos que
não satisfaz a primeira condição de linearidade e, portanto, não é transformação linear.
Resposta
A aplicação
não é linear, pois não satisfaz a propriedade de aditividade.