Verifique que as seguintes funções não são tranformações lineares:
D: M2(R) R dada por D(A)=det(A)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
D: M2(R) to R, D(A)=det(A),
e pede para verificar que ela não é uma transformação linear. Vamos lembrar que, para ser linear, uma aplicação D deve satisfazer duas propriedades para todo A,Bin M2(R) e todo escalar cinR:
1. D(A+B)=D(A)+D(B) (additividade)
2. D(cA)=c,D(A) (homogeneidade)

Passo 2

Escolhemos mostrar que a propriedade de additividade falha. Se encontrarmos A,B tais que
D(A+B)neq D(A)+D(B),
já basta para concluir que D não é linear, sem precisarmos nem checar homogeneidade.

Passo 3

Considere
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 1, B = 1 & 0 [6pt] 0 & 1,
ou seja, A=B=I a matriz identidade. Então:
A+B = 2I = 2 & 0 [6pt] 0 & 2
Calculamos
D(A)=det(I)=1, D(B)=det(I)=1 Longrightarrow D(A)+D(B)=1+1=2,
porém
D(A+B)=det(2I)=2cdot 2 = 4
Como 4 neq 2, a additividade falha.]

Passo 4

Porque D(A+B)neq D(A)+D(B) para A=B=I, concluímos que D não satisfaz a primeira condição de linearidade e, portanto, não é transformação linear.

Resposta

A aplicação D(A)=det(A) não é linear, pois não satisfaz a propriedade de aditividade.

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