Exercício 1
Determine os extremos da função
f(x, y)=x^{2} y
sujeita à restrição
x^{2}+y^{2}=3 .

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=x^{2}y\, e a restrição \,x^{2}+y^{2}=3\,. A pergunta é: determinar os extremos de f quando (x,y) varia sobre a circunferência \,x^{2}+y^{2}=3.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função objetivo é \,f(x,y)=x^{2}y\,.
  • A restrição é a curva de nível \,x^{2}+y^{2}=3, isto é, a circunferência de raio \sqrt{3}.
  • Queremos os pontos (x,y) sobre essa circunferência onde f atinge máximos e mínimos (extremos).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (aula rápida e intuitiva).
  • Como temos uma função de duas variáveis sujeita a uma restrição dada por uma equação \,g(x,y)=0 com g(x,y)=x^{2}+y^{2}-3, o método mais direto é multiplicadores de Lagrange.
  • Intuição do método: em um ponto de extremo sujeito à restrição, a direção de maior crescimento de f (o gradiente \nabla f) deve ser perpendicular à curva de restrição; mas a normal da curva de restrição é o gradiente \nabla g. Logo, nesses pontos \nabla f é paralelo a \nabla g, ou seja existe um escalar \lambda tal que \nabla f=\lambda\nabla g.
  • Vou aplicar isso de forma algébrica: definir g(x,y)=x^{2}+y^{2}-3 e resolver o sistema
\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y), \qquad g(x,y)=0.
Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real a ser encontrado junto com x,y).

Passo 3

Calcular gradientes e escrever o sistema de equações.
  • Primeiro calcular \nabla f. As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}.
Logo \nabla f=(2xy,\;x^{2}).
  • O gradiente de g é
\nabla g=(2x,\;2y).
  • A condição \nabla f=\lambda\nabla g gera as duas equações
2xy = \lambda\cdot 2x,
x^{2} = \lambda\cdot 2y,
além da restrição
x^{2}+y^{2}=3.
  • Simplificando a primeira equação obtemos
2x(y-\lambda)=0.

Passo 4

Resolver o sistema: caso x=0.
  • Se \,x=0, pela restrição \,y^{2}=3, então \,y=\pm\sqrt{3}.
  • Avaliando a função em esses pontos:
f(0,\pm\sqrt{3})=0^{2}\cdot(\pm\sqrt{3})=0.
  • Assim temos dois pontos candidatos: \,(0,\sqrt{3}) e \,(0,-\sqrt{3}), com valor f=0.

Passo 5

Resolver o sistema: caso y=\lambda (ou seja x\neq0 e da primeira equação vem \lambda=y).
  • Substituindo \lambda=y na segunda equação x^{2}=2\lambda y
x^{2}=2y^{2}.
  • Usando isso na restrição:
x^{2}+y^{2}=2y^{2}+y^{2}=3y^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=1.
  • Portanto \,y=\pm 1. Então \,x^{2}=2y^{2}=2, ou seja \,x=\pm\sqrt{2}.
  • Assim os pontos candidatos são:
    \,(\pm\sqrt{2},1) e \,(\pm\sqrt{2},-1).
  • Avaliando f nesses pontos:
f(\pm\sqrt{2},1)=(\pm\sqrt{2})^{2}\cdot 1=2\cdot 1=2,
f(\pm\sqrt{2},-1)=(\pm\sqrt{2})^{2}\cdot (-1)=2\cdot(-1)=-2.

Passo 6

Classificação dos extremos (comparação de valores).
  • A curva de restrição \,x^{2}+y^{2}=3 é compacta (fechada e limitada) e f é contínua, portanto f atinge valores máximo e mínimo absolutos sobre a restrição. Isso significa que basta comparar os valores de f nos pontos candidatos encontrados.
  • Valores obtidos:
    • Em (\pm\sqrt{2},1): f=2.
    • Em (\pm\sqrt{2},-1): f=-2.
    • Em (0,\pm\sqrt{3}): f=0.
  • Comparando, o maior valor é 2 e o menor valor é -2. Logo:
    • Máximos globais: f=2 em (\pm\sqrt{2},1).
    • Mínimos globais: f=-2 em (\pm\sqrt{2},-1).
    • Os pontos (0,\pm\sqrt{3}) são pontos críticos com valor intermédio 0, não são extremos absolutos.

Resposta

Máximos: f=2 em (\sqrt{2},1) e (-\sqrt{2},1)
Mínimos: f=-2 em (\sqrt{2},-1) e (-\sqrt{2},-1)

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