Exercício 1
Determine os extremos da função
sujeita à restrição
Passo 1
O enunciado dá a função
e a restrição
. A pergunta é: determinar os extremos de
quando
varia sobre a circunferência
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função objetivo é
. - A restrição é a curva de nível
, isto é, a circunferência de raio . - Queremos os pontos
sobre essa circunferência onde atinge máximos e mínimos (extremos).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (aula rápida e intuitiva).
- Como temos uma função de duas variáveis sujeita a uma restrição dada por uma equação
com , o método mais direto é multiplicadores de Lagrange. - Intuição do método: em um ponto de extremo sujeito à restrição, a direção de maior crescimento de
(o gradiente ) deve ser perpendicular à curva de restrição; mas a normal da curva de restrição é o gradiente . Logo, nesses pontos é paralelo a , ou seja existe um escalar tal que . - Vou aplicar isso de forma algébrica: definir
e resolver o sistema
Aqui
é o multiplicador de Lagrange (um número real a ser encontrado junto com
).
Passo 3
Calcular gradientes e escrever o sistema de equações.
- Primeiro calcular
. As derivadas parciais são:
Logo
.
- O gradiente de
é
- A condição
gera as duas equações
além da restrição
- Simplificando a primeira equação obtemos
Passo 4
Resolver o sistema: caso
.
- Se
, pela restrição , então . - Avaliando a função em esses pontos:
- Assim temos dois pontos candidatos:
e , com valor .
Passo 5
Resolver o sistema: caso
(ou seja
e da primeira equação vem
).
- Substituindo
na segunda equação dá
- Usando isso na restrição:
- Portanto
. Então , ou seja . - Assim os pontos candidatos são:
e . - Avaliando
nesses pontos:
Passo 6
Classificação dos extremos (comparação de valores).
- A curva de restrição
é compacta (fechada e limitada) e é contínua, portanto atinge valores máximo e mínimo absolutos sobre a restrição. Isso significa que basta comparar os valores de nos pontos candidatos encontrados. - Valores obtidos:
- Em
: . - Em
: . - Em
: .
- Em
- Comparando, o maior valor é
e o menor valor é . Logo: - Máximos globais:
em . - Mínimos globais:
em . - Os pontos
são pontos críticos com valor intermédio , não são extremos absolutos.
- Máximos globais:
Resposta
Máximos:
em
e
Mínimos: em
e
Mínimos: