Exercício 5
Encontrar os extremos da função
f(x, y, z)=x+y+z
sujeita à restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 .

Passo 1

O enunciado nos dá a função objetivo e a restrição e pede os extremos sobre a superfície dada. Informações do enunciado:
  • Função a ser otimizada: f(x,y,z)=x+y+z.
  • Restrição: x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.
  • Pergunta: encontrar os extremos (pontos (x,y,z) na esfera e os valores de f nesses pontos).

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicada de forma simples).
  • Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange porque ele é direto para problemas do tipo “otimizar f sujeito a g(x,y,z)= constante”. É um procedimento padrão em provas e dá uma receita clara de equações a resolver.
  • Intuição do método (sem jargão): a superfície dada pela restrição é uma esfera. Num ponto onde f atinge um extremo sobre a esfera, a superfície de nível de f que passa por esse ponto é tangente à esfera. Isso significa que os vetores normais a essas superfícies são paralelos. Em linguagem matemática isso vira a condição \nabla f=\lambda \nabla g, onde \lambda é um número (o multiplicador de Lagrange).
  • Vou explicar o que cada símbolo representa quando montar as equações.

Passo 3

Montar a equação de Lagrange e explicar cada termo.
  • Defino a função da restrição como g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}. A restrição é g(x,y,z)=3.
  • Formo a condição dos multiplicadores: existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z).
Aqui:
  • \nabla f é o vetor gradiente de f, ou seja o vetor das derivadas parciais \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right). Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de f.
  • \nabla g é o vetor gradiente de g.
  • A igualdade diz que os dois vetores são paralelos (um é múltiplo escalar do outro).
  • Também há que satisfazer a própria restrição g(x,y,z)=3.

Passo 4

Calcular os gradientes e escrever as equações explícitas.
  • Calculo as derivadas:
    • \dfrac{\partial f}{\partial x}=1, \dfrac{\partial f}{\partial y}=1, \dfrac{\partial f}{\partial z}=1. Logo
    \nabla f=(1,1,1).
    • \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x, \dfrac{\partial g}{\partial y}=2y, \dfrac{\partial g}{\partial z}=2z. Logo
    \nabla g=(2x,2y,2z).
  • A condição \nabla f=\lambda \nabla g dá o sistema (com três equações):
1=2\lambda x,\qquad 1=2\lambda y,\qquad 1=2\lambda z.
  • Além disso, deve valer a restrição
x^{2}+y^{2}+z^{2}=3.

Passo 5

Resolver as equações obtidas (passo a passo, sem pular).
  • Das três equações 1=2\lambda x, 1=2\lambda y, 1=2\lambda z segue que
2\lambda x=2\lambda y=2\lambda z=1.
  • Se 2\lambda \neq 0, podemos dividir e obter
x=y=z.
(Se 2\lambda=0 então as equações seriam 1=0, impossível. Logo 2\lambda\neq0.)
  • Como x=y=z, escrevo x=y=z=t para algum número t. Substituo na restrição:
t^{2}+t^{2}+t^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad 3t^{2}=3.
  • Daí
t^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad t=\pm 1.
  • Portanto as soluções candidatas são os pontos
(1,1,1)\quad\text{e}\quad(-1,-1,-1).

Passo 6

Calcular os valores de f nesses pontos e decidir quais são máximo e mínimo.
  • Avalio f em cada ponto:
    • Em (1,1,1): f(1,1,1)=1+1+1=3.
    • Em (-1,-1,-1): f(-1,-1,-1)=-1-1-1=-3.
  • Justificativa da classificação: a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 é um conjunto compacto (fechado e limitado) e f é contínua, logo f atinge máximo e mínimo sobre essa esfera. Encontramos apenas esses dois pontos críticos; comparando os valores, 3 é o maior e -3 é o menor. Assim:
    • (1,1,1) é ponto de máximo global com valor 3.
    • (-1,-1,-1) é ponto de mínimo global com valor -3.

Passo 7

Comentário intuitivo alternativo curtinho (ajuda a fixar a ideia).
  • Como f(x,y,z)=x+y+z pode ser vista como o produto escalar \langle (x,y,z),(1,1,1)\rangle, sobre a esfera o produto escalar é máximo quando os vetores são paralelos no mesmo sentido (isto dá (1,1,1)) e mínimo quando são paralelos em sentido oposto (isto dá (-1,-1,-1)). Isso confirma o resultado encontrado pelas equações.

Resposta

Máximo: ponto (1,1,1) com valor f(1,1,1)=3.
Mínimo: ponto (-1,-1,-1) com valor f(-1,-1,-1)=-3.

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