Exercício 5
Encontrar os extremos da função
sujeita à restrição
Passo 1
O enunciado nos dá a função objetivo e a restrição e pede os extremos sobre a superfície dada. Informações do enunciado:
- Função a ser otimizada:
. - Restrição:
. - Pergunta: encontrar os extremos (pontos
na esfera e os valores de nesses pontos).
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicada de forma simples).
- Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange porque ele é direto para problemas do tipo “otimizar
sujeito a constante”. É um procedimento padrão em provas e dá uma receita clara de equações a resolver. - Intuição do método (sem jargão): a superfície dada pela restrição é uma esfera. Num ponto onde
atinge um extremo sobre a esfera, a superfície de nível de que passa por esse ponto é tangente à esfera. Isso significa que os vetores normais a essas superfícies são paralelos. Em linguagem matemática isso vira a condição , onde é um número (o multiplicador de Lagrange). - Vou explicar o que cada símbolo representa quando montar as equações.
Passo 3
Montar a equação de Lagrange e explicar cada termo.
- Defino a função da restrição como
. A restrição é . - Formo a condição dos multiplicadores: existe
tal que
Aqui:
-
é o vetor gradiente de , ou seja o vetor das derivadas parciais . Esse vetor aponta na direção de maior crescimento de . -
é o vetor gradiente de . - A igualdade diz que os dois vetores são paralelos (um é múltiplo escalar do outro).
- Também há que satisfazer a própria restrição
.
Passo 4
Calcular os gradientes e escrever as equações explícitas.
- Calculo as derivadas:
-
, , . Logo
-
, , . Logo
-
- A condição
dá o sistema (com três equações):
- Além disso, deve valer a restrição
Passo 5
Resolver as equações obtidas (passo a passo, sem pular).
- Das três equações
, , segue que
- Se
, podemos dividir e obter
(Se
então as equações seriam
, impossível. Logo
.)
- Como
, escrevo para algum número . Substituo na restrição:
- Daí
- Portanto as soluções candidatas são os pontos
Passo 6
Calcular os valores de
nesses pontos e decidir quais são máximo e mínimo.
- Avalio
em cada ponto: - Em
: . - Em
: .
- Em
- Justificativa da classificação: a esfera
é um conjunto compacto (fechado e limitado) e é contínua, logo atinge máximo e mínimo sobre essa esfera. Encontramos apenas esses dois pontos críticos; comparando os valores, é o maior e é o menor. Assim: -
é ponto de máximo global com valor . -
é ponto de mínimo global com valor .
-
Passo 7
Comentário intuitivo alternativo curtinho (ajuda a fixar a ideia).
- Como
pode ser vista como o produto escalar , sobre a esfera o produto escalar é máximo quando os vetores são paralelos no mesmo sentido (isto dá ) e mínimo quando são paralelos em sentido oposto (isto dá ). Isso confirma o resultado encontrado pelas equações.
Resposta
Máximo: ponto
com valor
.
Mínimo: ponto com valor
.
Mínimo: ponto