Exercício 4)

Determine os extremos da função z=x+2 y sobre a circunferência x^{2}+y^{2}= 5.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos da função z = x + 2y sujeita à restrição de que (x,y) pertence à circunferência x^2 + y^2 = 5. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange: igualar o gradiente de f(x,y)=x+2y ao gradiente da restrição g(x,y)=x^2+y^2 vezes um escalar \lambda.

Passo 2

Escrevemos o sistema de Lagrange:
\nabla f(x,y) = \lambda\,\nabla g(x,y),
isto é,
(1,\,2) = \lambda\,(2x,\,2y),
mais a própria restrição
x^2 + y^2 = 5.

Passo 3

Das componentes do primeiro vetor temos as equações
1 = 2\lambda x,
2 = 2\lambda y.
Dessas duas, isolamos \lambda:
\lambda = \frac{1}{2x}, \quad \lambda = \frac{2}{2y} = \frac{1}{y}.

Passo 4

Igualando as expressões de \lambda obtemos
\frac{1}{2x} = \frac{1}{y} \;\Longrightarrow\; y = 2x.
Substituindo na restrição:
x^2 + (2x)^2 = 5 \;\Longrightarrow\; 5x^2 = 5 \;\Longrightarrow\; x^2 = 1 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1,
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y = 2x = \pm 2.
Os candidatos são (1,2) e (-1,-2).

Passo 5

Calculamos z = x + 2y em ambos:
z(1,2) = 1 + 2\cdot 2 = 5,
z(-1,-2) = -1 + 2\cdot(-2) = -5.
Portanto z atinge máximo 5 em (1,2) e mínimo -5 em (-1,-2).

Resposta

Máximo de z igual a 5 em (1,2).
Mínimo de z igual a -5 em (-1,-2).

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