Exercício 4)
Determine os extremos da função
sobre a circunferência
5.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos da função
sujeita à restrição de que
pertence à circunferência
. O conteúdo aqui é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange: igualar o gradiente de
ao gradiente da restrição
vezes um escalar
.
Passo 2
Escrevemos o sistema de Lagrange:
isto é,
mais a própria restrição
Passo 3
Das componentes do primeiro vetor temos as equações
Dessas duas, isolamos
:
Passo 4
Igualando as expressões de
obtemos
Substituindo na restrição:
logo
Os candidatos são
e
.
Passo 5
Calculamos
em ambos:
Portanto
atinge máximo
em
e mínimo
em
.
Resposta
Máximo de
igual a
em
.
Mínimo de igual a
em
.
Mínimo de