Resolva as integrais indefinidas elementares que contém um trinômio quadrado abaixo.
\int \frac{x}{\sqrt{6 x-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt{6x - x^{2}}}\,dx
que envolve um trinômio quadrado 6x - x^{2} dentro de uma raiz. Vamos resolver completando o quadrado no radicando e depois usar uma substituição que torne a integral mais simples.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em 6x - x^{2}:
6x - x^{2} = -(x^{2} - 6x) = -\bigl[(x - 3)^{2} - 9\bigr] = 9 - (x - 3)^{2}.
Portanto
\sqrt{6x - x^{2}} = \sqrt{9 - (x - 3)^{2}}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - 3, \quad du = dx, \quad x = u + 3.
Então a integral vira
\int \frac{x}{\sqrt{6x - x^{2}}}\,dx = \int \frac{u + 3}{\sqrt{9 - u^{2}}}\,du = \int \frac{u}{\sqrt{9 - u^{2}}}\,du \;+\; 3\int \frac{1}{\sqrt{9 - u^{2}}}\,du.

Passo 4

Agora integramos cada parte separadamente:
  1. Para \displaystyle \int \frac{u}{\sqrt{9 - u^{2}}}\,du, usamos a substituição interna v = 9 - u^{2}, mas já sabemos o resultado padrão:
\int \frac{u}{\sqrt{9 - u^{2}}}\,du = -\sqrt{9 - u^{2}}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{9 - u^{2}}}\,du, é a integral que dá arco seno:
\int \frac{1}{\sqrt{9 - u^{2}}}\,du = \arcsin\!\bigl(\frac{u}{3}\bigr).
Juntando,
\int \frac{u + 3}{\sqrt{9 - u^{2}}}\,du = -\sqrt{9 - u^{2}} \;+\; 3\,\arcsin\!\bigl(\tfrac{u}{3}\bigr) + C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando que u = x - 3 e \sqrt{9 - u^{2}} = \sqrt{6x - x^{2}}, temos
\int \frac{x}{\sqrt{6x - x^{2}}}\,dx = -\sqrt{6x - x^{2}} \;+\; 3\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x - 3}{3}\Bigr) + C.

Resposta

-\sqrt{6x - x^{2}} \;+\; 3\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x - 3}{3}\Bigr) + C.

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