Exercício 3. Esboce os seguintes campos vetoriais:
F(x, y)=y \vec{i}+\frac{1}{2} \vec{j}.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial planar
F(x,y)=y\,\vec{i}+\tfrac{1}{2}\,\vec{j}.
Isso envolve entender como as componentes horizontal e vertical variam com a posição (x,y) e então desenhar vetores representativos em alguns pontos do plano.

Passo 2

Separemos as componentes do campo em
P(x,y)=y, \qquad Q(x,y)=\tfrac{1}{2}.
Em cada ponto (x,y), o vetor tem componente horizontal y e componente vertical constante igual a \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Analisemos a direção de F. A inclinação do vetor no ponto (x,y) é
\text{slope} \;=\;\frac{\text{vertical}}{\text{horizontal}} \;=\;\frac{\tfrac{1}{2}}{y} \;=\;\frac{1}{2y}.
  • Se y>0, a componente horizontal é positiva e o vetor inclina para a direita.
  • Se y<0, ele inclina para a esquerda.
  • Quando y\to0, \tfrac{1}{2y}\to\pm\infty, então próximo ao eixo x os vetores são quase verticais.
  • Para |y| grande, \tfrac{1}{2y}\to0, então os vetores ficam quase horizontais.

Passo 4

O módulo de F em (x,y) é
\|F(x,y)\|=\sqrt{y^{2}+\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}} =\sqrt{y^{2}+\tfrac{1}{4}}.
Isso cresce com |y|, mas a projeção vertical é sempre \tfrac{1}{2}, de modo que o comprimento aumenta somente pela componente horizontal.

Passo 5

Escolhendo algumas linhas horizontais y= constante, temos vetores idênticos nessa linha. Exemplos:
  • Para y=0: F(x,0)=(0,\tfrac{1}{2}),vetores verticais para cima de comprimento \tfrac{1}{2}.
  • Para y=1: F(x,1)=(1,\tfrac{1}{2}),vetores inclinados a \arctan\bigl(\tfrac{1/2}{1}\bigr)\approx27^\circ para a direita.
  • Para y=2: F(x,2)=(2,\tfrac{1}{2}),inclinação menor, quase horizontal.
  • Para y=-1: F(x,-1)=(-1,\tfrac{1}{2}),inclinado \arctan\bigl(\tfrac{1/2}{-1}\bigr)\approx-27^\circ (para a esquerda).

Passo 6

No esboço, desenhe várias linhas horizontais y=\text{const}. Em cada linha, todos os vetores são paralelos e iguais:
  • No eixo x, vetores verticais de mesmo comprimento.
  • Acima, vão se inclinando cada vez mais para a direita e crescendo de comprimento.
  • Abaixo, se inclinam para a esquerda e também crescem de comprimento.

Resposta

O esboço qualitativo do campo F(x,y)=y\,\vec{i}+\tfrac{1}{2}\,\vec{j} mostra, em cada linha y= constante, vetores paralelos de direção dada por \arctan\bigl(\tfrac{1}{2y}\bigr), inclinados para a direita quando y>0 e para a esquerda quando y<0, com módulo \sqrt{y^{2}+\tfrac{1}{4}}. No eixo x, todos os vetores são verticais apontando para cima com comprimento \tfrac{1}{2}.

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