Exercício 4. Seja F(x, y)=<0, Q(x, y)>, com \frac{\partial Q}{\partial x}(x, y)>0, para todo (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
a) Desenhe um campo satisfazendo as condições dadas.
b) Calcule \operatorname{rot} F.

Passo 1

O enunciado define o campo vetorial
F(x,y)=\langle 0,\;Q(x,y)\rangle
com a única condição de que
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)>0
para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2. Pede-se:
a) desenhar um campo que satisfaça essa condição;
b) calcular \operatorname{rot}F.

Passo 2

Para ter um exemplo concreto, escolha
Q(x,y)=e^x,
pois
\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=e^x>0
em toda parte. Assim
F(x,y)=\langle 0,\;e^x\rangle.
Desenho do campo: em cada ponto (x,y) o vetor aponta para cima (componente x nula) e seu comprimento é proporcional a e^x. Logo, para x\ll0 os vetores são bem curtos; em x=0 têm tamanho 1; para x>0 vão ficando cada vez mais longos.

Passo 3

Em coordenadas planas o rotor (curl) de F=\langle F_1,F_2\rangle é
\operatorname{rot}F =\frac{\partial F_2}{\partial x} -\frac{\partial F_1}{\partial y}.
Aqui F_1(x,y)=0 e F_2(x,y)=Q(x,y). Logo
\operatorname{rot}F(x,y) =\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)-0 =\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y).

Resposta

a) Um esboço de F(x,y)=\langle0,e^x\rangle, com vetores verticais de comprimento crescente à medida que x aumenta.
b)
\operatorname{rot}F(x,y) =\frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)>0.

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