Exercício 3: Sejam B=\{(1,0),(0,2)\}, C=\{(-1,1),(0,-1)\} bases do \mathbb{R}^{2}. Determine M_{B, C} e M_{C, B}.

Passo 1

O enunciado dá as bases
B=\{b_1=(1,0),\;b_2=(0,2)\},\quad C=\{c_1=(-1,1),\;c_2=(0,-1)\}
do espaço \mathbb{R}^2 e pede as matrizes de mudança de coordenadas
M_{B,C}\colon [v]_B\mapsto [v]_C \quad\text{e}\quad M_{C,B}\colon [v]_C\mapsto [v]_B.

Passo 2

Para montar M_{B,C}, cada coluna é [b_j]_C. Comecemos por b_1=(1,0). Procuramos \alpha,\beta tais que
(1,0)=\alpha\,c_1+\beta\,c_2 =\alpha(-1,1)+\beta(0,-1)=(-\alpha,\;\alpha-\beta).
Isto dá o sistema
-\alpha=1,\quad \alpha-\beta=0
logo \alpha=-1 e \beta=-1. Assim
[b_1]_C=(-1,\,-1).

Passo 3

Agora b_2=(0,2). Buscamos \alpha,\beta com
(0,2)=\alpha(-1,1)+\beta(0,-1)=(-\alpha,\;\alpha-\beta).
Temos
-\alpha=0,\quad \alpha-\beta=2
portanto \alpha=0 e \beta=-2. Logo
[b_2]_C=(0,\,-2).

Passo 4

Agrupando as colunas [b_1]_C e [b_2]_C, obtemos
M_{B,C}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ -1 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para M_{C,B}, cada coluna é [c_j]_B. Escrevemos
c_1=(-1,1)=u\,(1,0)+v\,(0,2)=(u,2v),
o que leva a u=-1 e 2v=1\Rightarrow v=\tfrac12, logo [c_1]_B=(-1,\tfrac12).
Do mesmo modo
c_2=(0,-1)=(u,2v)\implies u=0,\;2v=-1\Rightarrow v=-\tfrac12,
então [c_2]_B=(0,-\tfrac12).

Passo 6

Montando com essas colunas, resulta
M_{C,B}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\[4pt] \tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

Resposta

M_{B,C}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\\\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \quad M_{C,B}=\begin{pmatrix} -1 & 0\\[4pt] \tfrac12 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.]

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