Exercício 2 Determine a matriz oposta, matriz transposta das seguintes matrizes
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 2 & -3 \\\\ 3 & 2 & -1 & -\sqrt{5} \\\\ 3 & 0 & 3 & -\frac{1}{7} \\\\ 1 & -1 & 2 & -3 \\\\ 3 & 2 & -1 & -\sqrt{5} \\\\ 3 & 0 & 3 & -\frac{1}{7}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas operações elementares em matrizes: a matriz oposta e a matriz transposta. Vamos usar as definições
– A matriz oposta de A é -A, obtida multiplicando cada elemento de A por -1.
– A matriz transposta de A, denotada por A^T, é obtida trocando linhas por colunas, ou seja, o elemento da linha i, coluna j de A passa a ser o elemento da linha j, coluna i em A^T.

Passo 2

Para calcular -A, aplicamos -1 a cada entrada de
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -3\\\\ 3 & 2 & -1 & -\sqrt{5}\\\\ 3 & 0 & 3 & -\tfrac{1}{7}\\\\ 1 & -1 & 2 & -3\\\\ 3 & 2 & -1 & -\sqrt{5}\\\\ 3 & 0 & 3 & -\tfrac{1}{7} \end{pmatrix}.
Isso gera
- A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 & 3\\\\ -3 & -2 & 1 & \sqrt{5}\\\\ -3 & 0 & -3 & \tfrac{1}{7}\\\\ -1 & 1 & -2 & 3\\\\ -3 & -2 & 1 & \sqrt{5}\\\\ -3 & 0 & -3 & \tfrac{1}{7} \end{pmatrix}.

Passo 3

Para obter A^T, trocamos linha por coluna. Como A é 6\times4, A^T será 4\times6. As colunas de A viram linhas de A^T:
A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 & 3 & 3\\\\ -1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & 3 & 2 & -1 & 3\\\\ -3 & -\sqrt{5} & -\tfrac{1}{7} & -3 & -\sqrt{5} & -\tfrac{1}{7} \end{pmatrix}.

Resposta

- A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 & 3\\\\ -3 & -2 & 1 & \sqrt{5}\\\\ -3 & 0 & -3 & \tfrac{1}{7}\\\\ -1 & 1 & -2 & 3\\\\ -3 & -2 & 1 & \sqrt{5}\\\\ -3 & 0 & -3 & \tfrac{1}{7} \end{pmatrix}, \quad A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 & 1 & 3 & 3\\\\ -1 & 2 & 0 & -1 & 2 & 0\\\\ 2 & -1 & 3 & 2 & -1 & 3\\\\ -3 & -\sqrt{5} & -\tfrac{1}{7} & -3 & -\sqrt{5} & -\tfrac{1}{7} \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados