Exercício 1. Determine quais das matrizes estão na forma escalonada reduzida.
& A=(cccc 1 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & -10 0 & 0 & 0 & 2 ) B=(lllll 1 & 0 & 0 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 6 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ) C=(ccccc 0 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 & -5 0 & 0 & 0 & -1 & 6 ) & D=(ccccc 0 & 0 & 0 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & -4 & -2 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das matrizes A, B, C e D estão na forma escalonada reduzida. Esse conteúdo envolve o método de eliminação de Gauss–Jordan e vamos precisar conhecer os critérios da forma escalonada reduzida.

Passo 2

Uma matriz está em forma escalonada reduzida se satisfaz as seguintes condições: (i) toda linha não nula tem um pivô igual a 1; (ii) cada pivô é o único elemento não nulo em sua coluna; (iii) pivôs de linhas inferiores aparecem sempre à direita dos pivôs das linhas acima; (iv) todas as linhas nulas (se houver) ficam abaixo das linhas não nulas.

Passo 3

Na matriz A as linhas não nulas têm pivôs em colunas 1 e 3, mas a terceira linha tem o primeiro elemento não nulo igual a 2 em vez de 1, violando a condição (i). Portanto, A não está na forma escalonada reduzida.

Passo 4

Na matriz B os pivôs estão em colunas 1, 3 e 4, todos iguais a 1; cada coluna de pivô tem zeros acima e abaixo; os pivôs deslocam-se para a direita a cada linha; e a linha zero aparece por último. Assim, B satisfaz todas as condições e está em forma escalonada reduzida.

Passo 5

Na matriz C os pivôs estão em colunas 2 e 3 com valor 1, mas a terceira linha tem pivô -1 em vez de 1, violando a condição (i). Logo, C não está na forma escalonada reduzida.

Passo 6

Na matriz D a primeira linha não nula tem pivô igual a 5 (deveria ser 1) e ele está à direita do pivô da linha seguinte, violando as condições (i) e (iii). Portanto, D também não está em forma escalonada reduzida.

Resposta

Somente a matriz B está na forma escalonada reduzida.

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