Use a definição de continuidade no ponto para provar que:
(3) f(x)=1x é contínua em x=12.

Passo 1

O enunciado pede para provar que f(x)=1/x é contínua em x0=1/2. Pela definição de continuidade num ponto, devemos mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se
|x - tfrac12| < de<a,
então
l|f(x) - f(tfrac12)r| < varepsilon
Aqui temos f(tfrac12)=2.

Passo 2

Vamos estimar
l|f(x)-2r| = l|tfrac1x - 2r| = l|1 - 2xr||x| = 2,l|x - tfrac12r||x|

Passo 3

Para controlar o denominador |x|, impomos que
de<a <= tfrac14
Então, se |x - tfrac12| < de<a <= tfrac14, segue
|x| = l|x - tfrac12 + tfrac12r| >= l|tfrac12r| - l|x - tfrac12r| > tfrac12 - tfrac14 = tfrac14
Assim
l|f(x)-2r| < 2,|x - tfrac12|1/4 = 8,l|x - tfrac12r|

Passo 4

Para garantir l|f(x)-2r|<varepsilon basta exigir
8,l|x - tfrac12r| < varepsilon Long<=ftrightarrow l|x - tfrac12r| < varepsilon8
Logo podemos definir
de<a = minltfrac14,;tfracvarepsilon8r
Então, sempre que |x - tfrac12|<de<a, teremos l|f(x)-2r|<varepsilon.

Resposta

A escolha de<a = min1/4,;varepsilon/8 satisfaz a definição de continuidade em x=1/2, logo f(x)=1/x é contínua nesse ponto.

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