• Problema 5.5. Seja f: D R e c in D. Mostre que são equivalentes:
  1. f é contínua em c;
  2. Para toda sequência xn subset D com xn c, temos lim n infty f(xn)=f(c).
    (Esta condição é chamada de continuidade sequencial.)

Passo 1

O enunciado define uma função f: D to R e um ponto cin D. Precisamos mostrar que as duas afirmações a seguir são equivalentes:
  1. f é contínua em c (definição varepsilon de<a).
  2. Para toda sequência xnsubset D com xnto c, vale limntoinftyf(xn)=f(c) (continuidade sequencial).
Vamos provar as duas implicações: (1) implies(2) e (2) implies(1).

Passo 2

Prova de (1)implies(2). Suponha que f seja contínua em c no sentido varepsilon de<a. Então, dado qualquer varepsilon>0, existe de<a>0 tal que
|x-c|<de<aLongrightarrow |f(x)-f(c)|<varepsilon
Agora seja xnsubset D qualquer sequência com xnto c. Por definição de limite, existe NinN tal que, para todo n>= N,
|xn - c| < de<a
Pela condição de continuidade, isso implica para n>= N
|f(xn)-f(c)|<varepsilon
Como varepsilon>0 era arbitrário, concluímos que f(xn)to f(c). Assim mostramos (1)implies(2).

Passo 3

Prova de (2)implies(1). Suponha agora que valha a continuidade sequencial, mas por absurdo suponha que f não seja contínua em c no sentido varepsilon de<a. Então existe algum varepsilon0>0 tal que, para todo de<a>0, encontra-se xin D com
|x-c|<de<a e |f(x)-f(c)|>=varepsilon0
Em particular, para cada ninN use de<a=1/n e escolha um ponto xnin D satisfazendo
|xn - c| < 1n e |f(xn)-f(c)| >= varepsilon0
Então xnto c, mas |f(xn)-f(c)|>=varepsilon0 impede f(xn)to f(c). Isso contraria a hipótese de continuidade sequencial. Logo f deve ser contínua em c no sentido varepsilon de<a.

Resposta

Mostramos as duas implicações (1)implies(2) e (2)implies(1). Portanto, as definições de continuidade (“ varepsilon de<a”) e de continuidade sequencial são equivalentes em c.

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