- Problema 5.5. Seja
e
. Mostre que são equivalentes:
-
é contínua em
;
- Para toda sequência
, temos
.
(Esta condição é chamada de continuidade sequencial.)
(Esta condição é chamada de continuidade sequencial.)
Passo 1
O enunciado define uma função
e um ponto
. Precisamos mostrar que as duas afirmações a seguir são equivalentes:
-
é contínua em (definição – ). - Para toda sequência
com , vale (continuidade sequencial).
Vamos provar as duas implicações: (1)
(2) e (2)
(1).
Passo 2
Prova de
. Suponha que
seja contínua em
no sentido
–
. Então, dado qualquer
, existe
tal que
Agora seja
qualquer sequência com
. Por definição de limite, existe
tal que, para todo
,
Pela condição de continuidade, isso implica para
Como
era arbitrário, concluímos que
. Assim mostramos
.
Passo 3
Prova de
. Suponha agora que valha a continuidade sequencial, mas por absurdo suponha que
não seja contínua em
no sentido
–
. Então existe algum
tal que, para todo
, encontra-se
com
Em particular, para cada
use
e escolha um ponto
satisfazendo
Então
, mas
impede
. Isso contraria a hipótese de continuidade sequencial. Logo
deve ser contínua em
no sentido
–
.
Resposta
Mostramos as duas implicações
e
. Portanto, as definições de continuidade (“
–
”) e de continuidade sequencial são equivalentes em
.