Exercício 8. Determine quais das matrizes a seguir estão em forma escalonada reduzida.
(ccccc1 & 0 & 0 & 1 & 4 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 2 & 1 & 0)

Passo 1

O enunciado nos dá a única matriz
A = 1 & 0 & 0 & 1 & 4 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 2 & 1 & 0
e pede para determinar se ela está em forma escalonada reduzida. Esse é um assunto de Álgebra Linear envolvendo transformações elementares de linhas e definição de forma escadinada (row echelon) e sua versão reduzida (reduced row echelon).

Passo 2

Relembrando a definição de forma escadinada reduzida (RREF), uma matriz deve satisfazer todas as seguintes condições:
  1. Todas as linhas nulas (se existirem) estão abaixo das linhas não nulas.
  2. Em cada linha não nula o primeiro elemento não zero (pivot) é igual a 1.
  3. Cada pivot está em uma coluna à direita do pivot da linha anterior.
  4. Em cada coluna que contém um pivot, todos os outros elementos (acima e abaixo) são zero.

Passo 3

Vamos conferir cada condição em A:
– Condição 1: Não há linhas totalmente nulas, logo está ok.
– Condição 3: Os pivôs, se existissem em cada linha, estariam nas colunas 1, 2 e 3, que avançam da linha 1 para a 2 para a 3. Então essa condição também está satisfeita.
– Condição 4: Nas colunas 1 e 2, além dos pivôs em 1 e 2, todos os outros elementos são zero. Na coluna 3, embora os elementos acima (linhas 1 e 2) sejam zero, ainda precisamos checar o valor do pivot.
O ponto crítico é a condição 2: o primeiro elemento não zero de cada linha deve ser 1. Nas duas primeiras linhas isso ocorre (os pivôs são 1 nas colunas 1 e 2), mas na terceira linha o primeiro elemento não zero é 2 (coluna 3), e não 1. Logo essa linha viola a condição de pivot igual a 1.

Resposta

A matriz não está em forma escalonada reduzida, pois o pivot da terceira linha vale 2 em vez de 1.

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