Exercício 4. Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
T: R^3 P2(R) tal que T(1,1,1)=1+x, T(1,0,1)=1+x^2 e T(5,2,5)=3+2 x+x^2.

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
;T:R^3to P2(R)
que satisfaça
T(1,1,1)=1+x, T(1,0,1)=1+x^2, T(5,2,5)=3+2x+x^2
Para existir tal T, as relações lineares entre os vetores do domínio devem se refletir nas imagens em P2(R).

Passo 2

Denotando
v1=(1,1,1), v2=(1,0,1), v3=(5,2,5),
vemos que
2,v1+3,v2=(2,2,2)+(3,0,3)=(5,2,5)=v3
Logo existe a relação linear
v3=2,v1+3,v2

Passo 3

Se T fosse linear, deveríamos ter
T(v3)=Tl(2v1+3v2r)=2,T(v1)+3,T(v2)
Contudo, pelas imagens dadas, o lado direito vale
2,(1+x)+3,(1+x^2)=2+2x+3+3x^2=5+2x+3x^2,
enquanto T(v3) é dado como 3+2x+x^2. Esses polinômios são distintos, logo a condição de linearidade falha.

Resposta

Não existe transformação linear T satisfazendo as três condições dadas.

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