Exercício 4. Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe:
T: P2(R) M2 times 2(R) cuja imagem seja gerada por [ll1 & 0 0 & 1] e [ll0 & 2 3 & 1].

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
;T: P2(R)to M2times2(R)
cuja imagem seja exatamente
Im,T=spanl1&00&1,,0&23&1r
O conteúdo usado será teoria de transformações lineares, base de domínio, dimensão de imagem (posto) e teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Como dim P2(R)=3 e queremos diml(Im,Tr)=2, o teorema do posto-nulidade exige
diml(ker Tr)=3-2=1
Ou seja, T deve ter posto 2 e núcleo unidimensional.

Passo 3

Escolhemos a base canônica de P2(R):
1,;t,;t^2
Para assegurar que a imagem de T seja gerada pelos dois matrizes indicadas, definimos
T(1)=0, T(t)=1&00&1, T(t^2)=0&23&1
Por extensão linear, isto determina T em todo P2(R).

Passo 4

Para p(t)=a+bt+ct^2 temos, por linearidade,
Tl(a+bt+ct^2r) =a,T(1)+b,T(t)+c,T(t^2) =b1&00&1 +c0&23&1
Como b e c são livres, a imagem de T é spanas duas matrizes com dimensão 2, e o kernel é a+0,t+0,t^2, de dimensão 1, conforme exigido.

Resposta

Para todo p(t)=a+bt+ct^2in P2(R), defina
Tl(a+bt+ct^2r) =b1&00&1 +c0&23&1
Essa transformação é linear e satisfaz Im,T=spanl1&00&1,,0&23&1r.

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