Exercício 4. Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe: cuja imagem seja gerada por e [ll0 & 2 3 & 1].
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear ;T: P2(R)to M2times2(R)
cuja imagem seja exatamente Im,T=spanl1&00&1,,0&23&1r
O conteúdo usado será teoria de transformações lineares, base de domínio, dimensão de imagem (posto) e teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Como dim P2(R)=3 e queremos diml(Im,Tr)=2, o teorema do posto-nulidade exige
diml(ker Tr)=3-2=1
Ou seja, T deve ter posto 2 e núcleo unidimensional.
Passo 3
Escolhemos a base canônica de P2(R):
1,;t,;t^2
Para assegurar que a imagem de T seja gerada pelos dois matrizes indicadas, definimos
T(1)=0, T(t)=1&00&1, T(t^2)=0&23&1
Por extensão linear, isto determina T em todo P2(R).