Exercício 3. Determine os pontos críticos das seguintes funções:
f:] 0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=x \ln (x)

Passo 1

O enunciado dá a função definida em ]0,+\infty[:
f(x)=x\ln(x).
Pede-se: determinar os pontos críticos dessa função.

Passo 2

Lembrete rápido (útil para a prova): ponto crítico é um x do domínio onde a derivada f'(x) vale zero ou não está definida. Primeiro vamos calcular f'(x).
Para derivar f(x)=x\ln(x) usamos a regra do produto. A regra do produto diz: se u(x) e v(x) são funções, então
\big(u(x)v(x)\big)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui podemos identificar u(x)=x e v(x)=\ln(x). As derivadas dessas partes são:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=\frac{1}{x}\quad\text{(pois a derivada de \(\ln(x)\) é \(\dfrac{1}{x}\)).}é

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}=\ln(x)+1.
Portanto a derivada existe para todo x>0 (pois \ln(x) e 1/x estão definidas para x>0), logo não há pontos do tipo “derivada não definida” no domínio.

Passo 4

Ficam, então, apenas os pontos onde f'(x)=0. Igualando:
\ln(x)+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x)=-1.
Para resolver \ln(x)=-1 aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
x=e^{-1}=\frac{1}{e}.
Esse valor pertence ao domínio ]0,+\infty[, portanto é um ponto crítico.

Passo 5

(se quiser classificar) Calculamos a segunda derivada para classificar o ponto crítico. Derivando f'(x)=\ln(x)+1 temos
f''(x)=\frac{1}{x}.
Em x=\dfrac{1}{e},
f''\!\left(\frac{1}{e}\right)=e>0,
ou seja, pelo teste da segunda derivada, x=\dfrac{1}{e} é ponto de mínimo local. O valor da função nesse ponto é
f\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\cdot(-1)=-\frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1}{e}
\displaystyle \left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right)

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