Exercício 3. Determine os pontos críticos das seguintes funções:
dada por
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
:
Pede-se: determinar os pontos críticos dessa função.
Passo 2
Lembrete rápido (útil para a prova): ponto crítico é um
do domínio onde a derivada
vale zero ou não está definida. Primeiro vamos calcular
.
Para derivar
usamos a regra do produto. A regra do produto diz: se
e
são funções, então
Aqui podemos identificar
e
. As derivadas dessas partes são:
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
Portanto a derivada existe para todo
(pois
e
estão definidas para
), logo não há pontos do tipo “derivada não definida” no domínio.
Passo 4
Ficam, então, apenas os pontos onde
. Igualando:
Para resolver
aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Esse valor pertence ao domínio
, portanto é um ponto crítico.
Passo 5
(se quiser classificar) Calculamos a segunda derivada para classificar o ponto crítico. Derivando
temos
Em
,
ou seja, pelo teste da segunda derivada,
é ponto de mínimo local. O valor da função nesse ponto é