Exercício 9. Determine se as retas r e s são iguais nos seguintes casos:
As equações paramétricas de r são dadas por:
& x=1-lambda & y=2+2 lambda & z=1+lambda
para todo lambda real e as equações paramétricas de s são dadas por:
x=1-12 mu y=2+mu z=1+12 mu
para todo mu real.

Passo 1

O enunciado dá as retas r e s em forma paramétrica, com parâmetros lambda e mu. O objetivo é determinar se elas coincidem. Vamos usar o critério de reta no espaço: duas retas coincidem se seus vetores diretores são colineares e compartilham pelo menos um ponto.

Passo 2

Para r temos
(x,y,z) = (1,2,1) + lambda,(-1,2,1),
logo o vetor diretor de r é v=(-1,2,1).
Para s temos
(x,y,z) = (1,2,1) + mul(-tfrac12,1,tfrac12r),
logo o vetor diretor de s é w=(-tfrac12,1,tfrac12).
Observe que
w = tfrac12,v,
portanto v e w são colineares.

Passo 3

Para ver se há ponto em comum, tomamos lambda=0 em r, obtendo
A = (1,2,1)
Em s procuramos mu tal que
1-tfracmu2=1, 2+mu=2, 1+tfracmu2=1
Cada equação dá mu=0. Logo A = s(0), ou seja, A pertence a ambas as retas.

Passo 4

Como os vetores diretores são colineares (as retas são paralelas) e há pelo menos um ponto em comum, concluímos que as retas coincidem.

Resposta

As retas r e s são iguais.

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