Exercício 9. Determine se as retas
e
são iguais nos seguintes casos:
As equações paramétricas de
são dadas por:
para todo
real e as equações paramétricas de
são dadas por:
para todo
real.
As equações paramétricas de
Passo 1
O enunciado dá as retas
e
em forma paramétrica, com parâmetros
e
. O objetivo é determinar se elas coincidem. Vamos usar o critério de reta no espaço: duas retas coincidem se seus vetores diretores são colineares e compartilham pelo menos um ponto.
Passo 2
Para
temos
logo o vetor diretor de
é
.
Para temos
Para
logo o vetor diretor de
é
.
Observe que
Observe que
portanto
e
são colineares.
Passo 3
Para ver se há ponto em comum, tomamos
em
, obtendo
Em
procuramos
tal que
Cada equação dá
. Logo
, ou seja,
pertence a ambas as retas.
Passo 4
Como os vetores diretores são colineares (as retas são paralelas) e há pelo menos um ponto em comum, concluímos que as retas coincidem.
Resposta
As retas
e
são iguais.