Seja p um número primo positivo, calcule
(p!,(p-1)!-1)
Sugestão: Use o Teorema de Wilson.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número primo positivo p e precisamos calcular o máximo divisor comum (MDC) entre p! e (p-1)! - 1 . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Wilson, que é uma ferramenta poderosa em teoria dos números envolvendo fatoriais e números primos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fatorial. Para qualquer número inteiro positivo n , n! (lê-se “n fatorial”) é o produto de todos os números inteiros de 1 até n . Por exemplo, 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120 .

Passo 3

Agora, vamos relembrar o Teorema de Wilson. Ele diz que se p é um número primo, então:
(p - 1)! equiv -1 pmodp
Isso significa que quando dividimos (p - 1)! por p , o resto é p - 1 , que é igual a -1 no contexto de congruências modulares.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar o MDC entre p! e (p - 1)! - 1 . Vamos expressar p! em termos de (p - 1)! :
p! = p times (p - 1)!
Isso nos mostra que p! é múltiplo de p .

Passo 5

Agora, vamos analisar (p - 1)! - 1 . Pelo Teorema de Wilson, sabemos que:
(p - 1)! equiv -1 pmodp
Então:
(p - 1)! - 1 equiv -1 - 1 = -2 pmodp
Ou seja, (p - 1)! - 1 deixa resto p - 2 quando dividido por p . Isso significa que p não divide (p - 1)! - 1 , a menos que p = 2 .

Passo 6

Como p divide p! mas não divide (p - 1)! - 1 (para p > 2 ), isso indica que p! e (p - 1)! - 1 não têm p como fator comum. Portanto, o máximo divisor comum entre eles deve ser 1, já que p é primo e não compartilham outros fatores.

Passo 7

No caso especial onde p = 2 :
2! = 2 times 1 = 2
(2 - 1)! - 1 = 1! - 1 = 1 - 1 = 0
O MDC entre 2 e 0 é 2, já que qualquer número é divisor de 0, e o maior divisor comum aqui é o próprio 2.

Resposta

O máximo divisor comum entre p! e (p-1)! -1 é:
gcd(p!, (p-1)! -1) = 2, & se p = 2 1, & se p é primo e p > 2 é

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