Seja
um número primo positivo, calcule
Sugestão: Use o Teorema de Wilson.
Sugestão: Use o Teorema de Wilson.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um número primo positivo
e precisamos calcular o máximo divisor comum (MDC) entre
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Wilson, que é uma ferramenta poderosa em teoria dos números envolvendo fatoriais e números primos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fatorial. Para qualquer número inteiro positivo
,
(lê-se “n fatorial”) é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos relembrar o Teorema de Wilson. Ele diz que se
é um número primo, então:
Isso significa que quando dividimos
por
, o resto é
, que é igual a
no contexto de congruências modulares.
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar o MDC entre
e
. Vamos expressar
em termos de
:
Isso nos mostra que
é múltiplo de
.
Passo 5
Agora, vamos analisar
. Pelo Teorema de Wilson, sabemos que:
Então:
Ou seja,
deixa resto
quando dividido por
. Isso significa que
não divide
, a menos que
.
Passo 6
Como
divide
mas não divide
(para
), isso indica que
e
não têm
como fator comum. Portanto, o máximo divisor comum entre eles deve ser 1, já que
é primo e não compartilham outros fatores.
Passo 7
No caso especial onde
:
O MDC entre 2 e 0 é 2, já que qualquer número é divisor de 0, e o maior divisor comum aqui é o próprio 2.
Resposta
O máximo divisor comum entre
e
é: