Seja
um número primo positivo, calcule
Sugestão: Use o Teorema de Wilson.
Sugestão: Use o Teorema de Wilson.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para calcular o máximo divisor comum (MDC) entre
e
, onde
é um número primo positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Wilson, que é uma ferramenta útil quando lidamos com números primos e fatoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o fatorial. O fatorial de um número
, escrito como
, é o produto de todos os números inteiros de 1 até
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema de Wilson, que diz que para qualquer número primo
:
Isso significa que quando você divide
por
, o resto é
, que é igual a
no módulo
.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Wilson na expressão
:
Isso mostra que
divide exatamente
, ou seja,
é um divisor de
.
Passo 5
Sabemos que
. Como
é primo, ele não divide nenhum número menor que ele, exceto 1. Portanto, os únicos divisores comuns entre
e
são 1 e
.
Passo 6
Como vimos que
divide ambos
e
, e nenhum número maior que
pode ser divisor comum desses dois termos, o Máximo Divisor Comum entre eles é
.
Resposta
O máximo divisor comum entre
e
é
.