Seja p um número primo positivo, calcule
(p!,(p-1)!+1)
Sugestão: Use o Teorema de Wilson.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para calcular o máximo divisor comum (MDC) entre p! e (p-1)! + 1 , onde p é um número primo positivo. Para isso, vamos usar o Teorema de Wilson, que é uma ferramenta útil quando lidamos com números primos e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o fatorial. O fatorial de um número n , escrito como n! , é o produto de todos os números inteiros de 1 até n . Por exemplo, 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120 .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema de Wilson, que diz que para qualquer número primo p :
(p-1)! equiv -1 mod p
Isso significa que quando você divide (p-1)! por p , o resto é p-1 , que é igual a -1 no módulo p .

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Wilson na expressão (p-1)! + 1 :
(p-1)! + 1 equiv -1 + 1 equiv 0 mod p
Isso mostra que p divide exatamente (p-1)! + 1 , ou seja, p é um divisor de (p-1)! + 1 .

Passo 5

Sabemos que p! = p times (p-1)! . Como p é primo, ele não divide nenhum número menor que ele, exceto 1. Portanto, os únicos divisores comuns entre p! e (p-1)! + 1 são 1 e p .

Passo 6

Como vimos que p divide ambos p! e (p-1)! + 1 , e nenhum número maior que p pode ser divisor comum desses dois termos, o Máximo Divisor Comum entre eles é p .

Resposta

O máximo divisor comum entre p! e (p-1)! + 1 é p .

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