Exercício 9. Determine se as retas r e s são iguais nos seguintes casos:
As equações paramétricas de r são dadas por:
& x=13-lambda & y=-13+lambda & z=23-lambda
para todo lambda real e as equações paramétricas de s são dadas por:
x=1-mu y=-1+mu z=2-mu
para todo mu real.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 por equações paramétricas. Para decidir se elas são iguais, vamos extrair de cada uma um ponto e um vetor diretor, depois:
  1. Verificar se os vetores diretores são paralelos (se não forem, as retas não podem ser coincidentes).
  2. Se forem paralelos, testar se um ponto de uma reta pertence à outra (só assim as retas coincidem).

Passo 2

Para a reta r: tomando lambda=0 obtemos o ponto
A = l(x,y,zr)l|lambda=0 = l(tfrac13,,-tfrac13,,tfrac23r),
e o vetor diretor é o coeficiente de lambda, ou seja
vec vr = l(-1,,1,,-1r)
Para a reta s: com mu=0 o ponto
B = l(x,y,zr)l|mu=0 = l(1,,-1,,2r),
e o vetor diretor
vec vs = l(-1,,1,,-1r)

Passo 3

Como vec vr = vec vs =(-1,1,-1), as retas são paralelas (ou coincidentes).

Passo 4

Para ver se uma reta é a mesma que a outra, basta testar se B pertence a r. Procuramos lambda tal que
A + lambda,vec vr = l(tfrac13,,-tfrac13,,tfrac23r) + lambda,(-1,1,-1) = (1,-1,2)
Da primeira coordenada vem
tfrac13 - lambda = 1 Longrightarrow lambda = -tfrac23
Na segunda coordenada fica
-tfrac13 + l(-tfrac23r) = -1,
o que bate. Mas na terceira teríamos
tfrac23 - l(-tfrac23r) = tfrac23 + tfrac23 = tfrac43neq 2,
logo não existe lambda que leve A em B.

Resposta

As retas r e s são paralelas, mas não coincidem, portanto não são iguais.

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