Exercício 9. Determine se as retas e são iguais nos seguintes casos:
As equações paramétricas de são dadas por:
para todo real e as equações paramétricas de são dadas por:
para todo real.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em por equações paramétricas. Para decidir se elas são iguais, vamos extrair de cada uma um ponto e um vetor diretor, depois:
Verificar se os vetores diretores são paralelos (se não forem, as retas não podem ser coincidentes).
Se forem paralelos, testar se um ponto de uma reta pertence à outra (só assim as retas coincidem).
Passo 2
Para a reta : tomando obtemos o ponto
e o vetor diretor é o coeficiente de lambda, ou seja
vec vr = l(-1,,1,,-1r)
Para a reta s: com mu=0 o ponto
B = l(x,y,zr)l|mu=0 = l(1,,-1,,2r),
e o vetor diretor
vec vs = l(-1,,1,,-1r)
Passo 3
Como vec vr = vec vs =(-1,1,-1), as retas são paralelas (ou coincidentes).
Passo 4
Para ver se uma reta é a mesma que a outra, basta testar se B pertence a r. Procuramos lambda tal que
A + lambda,vec vr = l(tfrac13,,-tfrac13,,tfrac23r) + lambda,(-1,1,-1) = (1,-1,2)