Questão 3 Considerando ainda a matriz A da Questão (2). Considere a matriz A dada por
A=(ccc 1 & 0 & -1 1 & 3 & m 1 & 1 & -1 )
(a) Qual a forma linha reduzida de Echelon da matriz A?
(b) Qual o determinante da matriz A ?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A= 1 & 0 & -1 1 & 3 & m 1 & 1 & -1
e pede:
(a) a forma reduzida por linhas (RREF) de A usando eliminação de Gauss–Jordan;
(b) o determinante de A.

Passo 2

Começamos a eliminação visando pivô em !a11=1. Aplico
R2 R2 - R1, R3 R3 - R1
ficando
1 & 0 & -1 0 & 3 & m+1 0 & 1 & 0
Agora pivô em posição (2,2) é 3, então
R2 tfrac13R2
e
R3 R3 - 1cdot R2
resultando em
1 & 0 & -1 0 & 1 & tfracm+13 0 & 0 & -tfracm+13

Passo 3

O último pivô é -tfracm+13.
  • Se mneq -1, divido a linha 3 por esse valor para obter 1 e zerar acima em coluna 3, chegando à identidade
RREF(A)= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  • Se m=-1, o elemento vira zero e não há pivô na linha 3. O RREF fica
RREF(A)= 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 ,
com a terceira coluna livre.

Passo 4

Para o determinante de A usamos expansão na primeira linha:
det(A) =1cdotdet!3 & m 1 & -1 -0cdot(cdots) +(-1)cdotdet!1 & 3 1 & 1
Calculando cada menor,
det!3 & m 1 & -1 =3cdot(-1)-mcdot1=-3-m,
det!1 & 3 1 & 1 =1cdot1-3cdot1=-2
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det(A)=(-3-m)-(-2)=-3-m+2=-1-m

Resposta

(a)
RREF(A)= I3, & mneq -1,[4pt] 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , & m=-1
(b) det(A)=-,l(m+1r)]

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