Exercício 6. Mostre que se
\vec{F} e
\vec{G} são dois campos vetoriais definidos em
E \subset \mathbb{R}^{3} e
f, g duas funções escalares
C^{1} de três variáveis, então
\nabla \cdot(\nabla f \times \nabla g)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dadas duas funções escalares f e g de classe C^1 em um aberto E\subset\mathbb{R}^3, vale
\nabla\cdot\bigl(\nabla f\times\nabla g\bigr)=0.
O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente uma identidade envolvendo divergência de produto vetorial e a propriedade de que o rotor de um gradiente é zero.

Passo 2

Usamos a identidade geral de cálculo vetorial: se A e B são campos vetoriais de classe C^1, então
\nabla\cdot\bigl(A\times B\bigr) = B\cdot\bigl(\nabla\times A\bigr)\;-\;A\cdot\bigl(\nabla\times B\bigr).
Aqui escolhemos
A = \nabla f \quad\text{e}\quad B = \nabla g,
de modo que
\nabla\cdot\bigl(\nabla f\times\nabla g\bigr) = \nabla g\cdot\bigl(\nabla\times\nabla f\bigr) - \nabla f\cdot\bigl(\nabla\times\nabla g\bigr).

Passo 3

Como f e g são de classe C^1, seus gradientes têm derivadas contínuas de segunda ordem, e vale a identidade clássica
\nabla\times\bigl(\nabla f\bigr)=0 \quad\text{e}\quad \nabla\times\bigl(\nabla g\bigr)=0
(em cada ponto de E).

Passo 4

Substituindo esses resultados em
\nabla\cdot\bigl(\nabla f\times\nabla g\bigr) = \nabla g\cdot0 \;-\;\nabla f\cdot0 =0-0,
concluímos que a divergência do produto vetorial dos gradientes é identicamente zero.

Resposta

0

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