Exercício 6. Mostre que se
\vec{F} e
\vec{G} são dois campos vetoriais definidos em
E \subset \mathbb{R}^{3} e
f, g duas funções escalares
C^{1} de três variáveis, então
\nabla \cdot(\nabla f \times \nabla g)=0.
\vec{F} e
\vec{G} são dois campos vetoriais definidos em
E \subset \mathbb{R}^{3} e
f, g duas funções escalares
C^{1} de três variáveis, então
\nabla \cdot(\nabla f \times \nabla g)=0.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dadas duas funções escalares
e
de classe
em um aberto
, vale
O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais precisamente uma identidade envolvendo divergência de produto vetorial e a propriedade de que o rotor de um gradiente é zero.
Passo 2
Usamos a identidade geral de cálculo vetorial: se
e
são campos vetoriais de classe
, então
Aqui escolhemos
de modo que
Passo 3
Como
e
são de classe
, seus gradientes têm derivadas contínuas de segunda ordem, e vale a identidade clássica
(em cada ponto de
).
Passo 4
Substituindo esses resultados em
concluímos que a divergência do produto vetorial dos gradientes é identicamente zero.