Exercício 2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são separáveis. Para as que forem separáveis, identifique as funções
e
tais que
.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar se ela é separável. Se for separável, devo identificar funções
e
tais que
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é uma equação de primeira ordem explícita para
. - O lado direito é uma expressão polinomial em
e : .
Passo 2
O que significa “separável” (explicação didática).
Uma equação diferencial da forma
Uma equação diferencial da forma
é chamada separável porque as variáveis podem ser separadas: podemos escrever todos os termos que dependem de
multiplicando
de um lado e todos os termos que dependem de
multiplicando
do outro, obtendo uma igualdade do tipo
que então pode ser integrada em ambos os lados. Aqui:
-
é uma função que depende só de ; -
é uma função que depende só de .
Passo 3
Tentar reconhecer se o lado direito pode ser escrito como produto de uma função só de
por uma função só de
. Começo reagrupando termos em
Agrupo os dois primeiros termos e os dois últimos:
Agora fatoro cada grupo, lembrando da distributividade:
Agora fatoro o fator comum
:
Passo 4
Conclusão sobre separabilidade. Como
o lado direito é exatamente o produto de uma função que depende só de
pelo produto de uma função que depende só de
. Portanto a equação é separável. Podemos identificar
porque
.
Passo 5
Mostrar como usar isso na prática (separação e integração) — aula rápida e útil para a prova.
Partindo de
Partindo de
separamos variáveis dividindo por
e multiplicando por
:
Agora integramos ambos os lados. Lembre que:
-
, porque a derivada de é ; -
, usando regras básicas de integração (integra-se termo a termo: , ).
Assim
onde
é constante global
. Exponenciando,
com
. Tirando o valor absoluto e absorvendo sinal em uma constante arbitrária
,
Finalmente,
que é a solução geral (a demonstração serve para ver que a separação realmente funciona; na prova pode ser pedido só identificar
e
).
Resposta
Separável.
,