Exercício 2. Determine quais das seguintes equações diferenciais são separáveis. Para as que forem separáveis, identifique as funções g(x) e h(y) tais que \frac{d y}{d x}=g(x) h(y).
\frac{d y}{d x}=x y+x+y+1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=x y+x+y+1
e pede para determinar se ela é separável. Se for separável, devo identificar funções g(x) e h(y) tais que
\frac{d y}{d x}=g(x)\,h(y).
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é uma equação de primeira ordem explícita para \dfrac{d y}{d x}.
  • O lado direito é uma expressão polinomial em x e y: x y+x+y+1.

Passo 2

O que significa “separável” (explicação didática).
Uma equação diferencial da forma
\frac{d y}{d x}=g(x)\,h(y)
é chamada separável porque as variáveis podem ser separadas: podemos escrever todos os termos que dependem de y multiplicando dy de um lado e todos os termos que dependem de x multiplicando dx do outro, obtendo uma igualdade do tipo
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx,
que então pode ser integrada em ambos os lados. Aqui:
  • g(x) é uma função que depende só de x;
  • h(y) é uma função que depende só de y.

Passo 3

Tentar reconhecer se o lado direito pode ser escrito como produto de uma função só de x por uma função só de y. Começo reagrupando termos em
x y + x + y + 1.
Agrupo os dois primeiros termos e os dois últimos:
(x y + x) + (y + 1).
Agora fatoro cada grupo, lembrando da distributividade:
x(y+1) + 1\cdot(y+1).
Agora fatoro o fator comum (y+1):
(x+1)(y+1).

Passo 4

Conclusão sobre separabilidade. Como
\frac{d y}{d x} = (x+1)(y+1),
o lado direito é exatamente o produto de uma função que depende só de x pelo produto de uma função que depende só de y. Portanto a equação é separável. Podemos identificar
g(x)=x+1,\qquad h(y)=y+1,
porque (x+1)(y+1)=g(x)\,h(y).

Passo 5

Mostrar como usar isso na prática (separação e integração) — aula rápida e útil para a prova.
Partindo de
\frac{d y}{d x}=(x+1)(y+1),
separamos variáveis dividindo por (y+1) e multiplicando por dx:
\frac{1}{y+1}\,dy=(x+1)\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Lembre que:
  • \displaystyle\int \frac{1}{y+1}\,dy = \ln|y+1| + C_1, porque a derivada de \ln|y+1| é \dfrac{1}{y+1};
  • \displaystyle\int (x+1)\,dx = \frac{x^2}{2} + x + C_2, usando regras básicas de integração (integra-se termo a termo: \int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}, \int 1\,dx = x).
Assim
\ln|y+1| = \frac{x^2}{2} + x + C,
onde C é constante global C=C_2-C_1. Exponenciando,
|y+1| = e^{\frac{x^2}{2}+x+C} = C' e^{\frac{x^2}{2}+x},
com C'=e^{C}>0. Tirando o valor absoluto e absorvendo sinal em uma constante arbitrária K\in\mathbb{R}\setminus\{0\},
y+1 = K e^{\frac{x^2}{2}+x}.
Finalmente,
y = K e^{\frac{x^2}{2}+x} - 1,
que é a solução geral (a demonstração serve para ver que a separação realmente funciona; na prova pode ser pedido só identificar g e h).

Resposta

Separável. g(x)=x+1, h(y)=y+1

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