Exercício 3. Resolva as seguintes EDOs pelo Método de Separação de Variáveis: \frac{d y}{d x}=\frac{y \ln y}{x}.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada e aplicar o Método de Separação de Variáveis. A equação é
\frac{d y}{d x}=\frac{y \ln y}{x}.
Informações e observações iniciais extraídas do enunciado:
A variável independente é x e a dependente é y(x).
A expressão contém \ln y, portanto é necessário que y>0 onde a solução for considerada (para \ln y real).
Há divisão por x no lado direito, portanto x\neq 0 no domínio do problema.
O objetivo é obter a solução geral (família de soluções) usando separação de variáveis.
Passo 2
Verificação de soluções constantes especiais antes de separar variáveis.
Se y for constante, então \dfrac{dy}{dx}=0. Substituindo na equação,
0=\frac{y\ln y}{x}.
Para x\neq 0 isso implica y\ln y=0. Como \ln y é definido só para y>0, a única possibilidade é \ln y=0, ou seja y=1. Portanto y\equiv 1 é uma solução constante da EDO (solução singular incluída na família final).
Agora vamos buscar soluções não-constantes. Para isso assumimos y>0 e que \ln y\neq 0 em pontos onde iremos dividir por \ln y (mais adiante veremos que a forma final incluirá também o caso \ln y=0).
Passo 3
Separar variáveis: escrever todos os termos com y de um lado e com x do outro. Começamos com
\frac{d y}{d x}=\frac{y \ln y}{x}.
Dividindo ambos os lados por y\ln y (quando \ln y\neq0) e multiplicando por dx,
\frac{d y}{y\ln y}=\frac{d x}{x}.
Agora as variáveis estão separadas: lado esquerdo depende só de y, lado direito só de x.
Passo 4
Integrar ambos os lados. Para integrar o lado esquerdo é conveniente fazer a substituição u=\ln y. Explico passo a passo essa substituição:
Defina u=\ln y. Isso faz sentido porque a derivada de \ln y em relação a y é 1/y.
Então du=\dfrac{1}{y}\,dy, ou seja \dfrac{dy}{y}=du.
Usando isso, o integrando do lado esquerdo fica
As integrais básicas são \int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+C e \int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C. Assim
\ln|u|=\ln|x|+C,
onde u=\ln y. Substituindo de volta,
\ln\bigl|\ln y\bigr|=\ln|x|+C.
Passo 5
Resolver a equação integrada para y. Exponenciando ambos os lados:
\bigl|\ln y\bigr| = e^{C}\,|x|.
Denote A=e^{C}>0. Então \bigl|\ln y\bigr|=A|x|. Agora, como x não muda de sinal em um intervalo onde a solução é considerada (lembre que x\neq0), podemos absorver o sinal de |x| e o \pm da módulo em uma constante arbitrária k\in\mathbb{R}. Ou seja existe k\in\mathbb{R} tal que
\ln y = k x.
(Isto também inclui o caso k=0, que dá \ln y=0\Rightarrow y=1, a solução constante encontrada antes.)
Finalmente, exponenciando:
y = e^{k x},
onde k é uma constante real arbitrária. Esse é o conjunto de soluções não-constantes; o caso k=0 recupera a solução constante y\equiv 1.
Passo 6
Comentários finais sobre domínio e validade:
As soluções têm y(x)>0 para todos x do domínio, porque y=e^{k x}>0.
Deve-se excluir x=0 do domínio original da EDO (pois o lado direito tem 1/x); porém cada solução y=e^{k x} está bem definida para todo x\in\mathbb{R} e resolve a EDO em qualquer intervalo que não contenha x=0. Em geral enunciar a solução em intervalos onde x não muda de sinal é suficiente.
Em resumo, a família geral de soluções é y=e^{k x} com k\in\mathbb{R}.