Exercício 3. Resolva as seguintes EDOs pelo Método de Separação de Variáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{\cos x}{y}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária e pede para resolvê-la pelo método indicado:
  • Equação dada: \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\cos x}{y}.
  • Pedido: encontrar a família geral de soluções y(x) (soluções reais) usando separação de variáveis.

Passo 2

Vamos preparar a equação para separar as variáveis y e x. Aqui tratamos \dfrac{dy}{dx} como um quociente e multiplicamos ambos os lados por y\,dx (isso é permitido enquanto y não for identicamente zero na região considerada):
y\,\frac{dy}{dx}=\cos x.
Agora escrevemos na forma diferencial separada:
y\,dy=\cos x\,dx.

Passo 3

Explicando a ideia da separação de variáveis (rapidinho e de forma prática): a técnica consiste em agrupar todos os termos que dependem de y no lado esquerdo e todos os termos que dependem de x no lado direito, para então integrar cada lado em relação à sua variável. Fizemos isso e agora vamos integrar:
\int y\,dy=\int \cos x\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais passo a passo:
  • À esquerda, use a regra do poder: \displaystyle \int y\,dy=\frac{1}{2}y^2, porque a derivada de y^2 é 2y.
  • À direita, a primitiva de \cos x é \sin x: \displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x.
    Adicionamos uma constante de integração C (única, que representa a diferença das duas constantes possíveis):
\frac{1}{2}y^2=\sin x + C.

Passo 5

Isolando y^2 e passando para y:
y^2 = 2\sin x + C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária real (renomeamos a constante para simplificar). Tomando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades de sinal):
y(x)=\pm\sqrt{2\sin x + C'}.
Observação sobre o sinal: a escolha do sinal + ou - depende de uma condição inicial, se houver; cada escolha dá uma solução distinta (ramo) definida onde a expressão dentro da raiz for não negativa.

Passo 6

Condições de validade e verificação:
  • A solução real só faz sentido quando 2\sin x + C'\ge 0; portanto cada solução é definida nos intervalos de x onde essa desigualdade vale.
  • Não existe solução constante y\equiv 0 válida para toda a reta, pois o lado direito \dfrac{\cos x}{y} ficaria indefinido com y=0.
  • Verificação rápida (como conferir na prova): diferencie y=\pm\sqrt{2\sin x + C'}. Usando a regra da cadeia:
y'=\pm\frac{1}{2}(2\sin x + C')^{-1/2}\cdot 2\cos x=\frac{\cos x}{\pm\sqrt{2\sin x + C'}}=\frac{\cos x}{y},
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a EDO original.

Passo 7

Resumo final: a família geral de soluções reais obtida por separação de variáveis é a expressão com constante arbitrária C' e domínio dado pela não negatividade do argumento da raiz.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{2\sin x + C},\quad C\in\mathbb{R}
A solução é definida para os x tais que 2\sin x + C\ge 0.

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