Exercício 3. Resolva as seguintes EDOs pelo Método de Separação de Variáveis:
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária e pede para resolvê-la pelo método indicado:
- Equação dada:
. - Pedido: encontrar a família geral de soluções
(soluções reais) usando separação de variáveis.
Passo 2
Vamos preparar a equação para separar as variáveis
e
. Aqui tratamos
como um quociente e multiplicamos ambos os lados por
(isso é permitido enquanto
não for identicamente zero na região considerada):
Agora escrevemos na forma diferencial separada:
Passo 3
Explicando a ideia da separação de variáveis (rapidinho e de forma prática): a técnica consiste em agrupar todos os termos que dependem de
no lado esquerdo e todos os termos que dependem de
no lado direito, para então integrar cada lado em relação à sua variável. Fizemos isso e agora vamos integrar:
Passo 4
Calcule as integrais passo a passo:
- À esquerda, use a regra do poder:
, porque a derivada de é . - À direita, a primitiva de
é : .
Adicionamos uma constante de integração(única, que representa a diferença das duas constantes possíveis):
Passo 5
Isolando
e passando para
:
onde
é outra constante arbitrária real (renomeamos a constante para simplificar). Tomando raiz quadrada (lembrando das duas possibilidades de sinal):
Observação sobre o sinal: a escolha do sinal
ou
depende de uma condição inicial, se houver; cada escolha dá uma solução distinta (ramo) definida onde a expressão dentro da raiz for não negativa.
Passo 6
Condições de validade e verificação:
- A solução real só faz sentido quando
; portanto cada solução é definida nos intervalos de onde essa desigualdade vale. - Não existe solução constante
válida para toda a reta, pois o lado direito ficaria indefinido com . - Verificação rápida (como conferir na prova): diferencie
. Usando a regra da cadeia:
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a EDO original.
Passo 7
Resumo final: a família geral de soluções reais obtida por separação de variáveis é a expressão com constante arbitrária
e domínio dado pela não negatividade do argumento da raiz.
Resposta
A solução é definida para os