Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
(n+2n+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = l(n+2,n+1r)^n
e verificar se ela converge; em caso afirmativo, encontrar limntoinftyan. O conteúdo principal é limite de sequência do tipo exponencial, usando o fato clássico
limxtoinftyl(1+1xr)^x = e

Passo 2

Reescrevemos o termo geral de forma a encaixar no limite conhecido. Note que
n+2n+1 = 1 + 1n+1,
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an = l(1+1n+1r)^n

Passo 3

Para usar o limite padrão, escrevemos
an = l(1+1n+1r)^n+1l(1+1n+1r)^-1 = underbracel(1+1n+1r)^n+1,to e;times;underbracel(1+1n+1r)^-1,to1
Como limntoinfty(1+tfrac1n+1)^n+1=e e limntoinfty(1+tfrac1n+1)^-1=1, segue que
limntoinftyan = ecdot1 = e

Passo 4

Concluímos que a sequência an converge e seu limite é
limntoinftyl(n+2n+1r)^n = e

Resposta

A sequência converge e o limite vale e.

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