Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
6 n-54 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência 6n - 54n + 1 converge ou diverge. Se ela convergir, também temos que encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências envolvendo polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Uma sequência converge se, conforme n fica bem grande (tende ao infinito), os termos da sequência se aproximam de um número específico, que é o limite. Se não há esse número específico, dizemos que a sequência diverge.

Passo 3

No nosso caso, a sequência é 6n - 54n + 1. Aqui, temos um quociente de dois polinômios. Para encontrar o limite quando n tende ao infinito, uma boa estratégia é analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. Isso porque, conforme n cresce, os termos de menor grau (como o -5 e o +1) têm menos impacto no valor total da fração.

Passo 4

O numerador 6n - 5 tem o termo de maior grau sendo 6n, e o denominador 4n + 1 tem o termo de maior grau sendo 4n. Para simplificar, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por n, que é o maior grau presente.
Então, a sequência fica:
6n - 54n + 1 = 6 - 5n4 + 1n

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando n tende ao infinito. As frações 5n e 1n vão se aproximar de zero, porque quanto maior n, menor é o valor dessas frações.
Portanto, temos:
limn to infty 6 - 5n4 + 1n = 6 - 04 + 0 = 64

Resposta

A sequência 6n - 54n + 1 converge e o seu limite é 32.

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