Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela convergir, também temos que encontrar qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências envolvendo polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir ou divergir. Uma sequência converge se, conforme n fica bem grande (tende ao infinito), os termos da sequência se aproximam de um número específico, que é o limite. Se não há esse número específico, dizemos que a sequência diverge.
Passo 3
No nosso caso, a sequência é
. Aqui, temos um quociente de dois polinômios. Para encontrar o limite quando n tende ao infinito, uma boa estratégia é analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. Isso porque, conforme n cresce, os termos de menor grau (como o -5 e o +1) têm menos impacto no valor total da fração.
Passo 4
O numerador
tem o termo de maior grau sendo
, e o denominador
tem o termo de maior grau sendo
. Para simplificar, podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por n, que é o maior grau presente.
Então, a sequência fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o que acontece quando n tende ao infinito. As frações
e
vão se aproximar de zero, porque quanto maior n, menor é o valor dessas frações.
Portanto, temos:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.