Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
(-1)^n 4 n^23 n^2+2 n+2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma sequência definida por (-1)^n 4 n^23 n^2+2 n+2 e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente analisando o comportamento quando n tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para entender o comportamento quando n fica muito grande. Olhando para a fração 4 n^23 n^2+2 n+2, percebemos que os termos de maior grau no numerador e denominador são 4n^2 e 3n^2, respectivamente.
Quando n tende ao infinito, os termos com menor grau (como 2n e 2) têm pouca influência no valor da fração. Então, podemos aproximar a fração por:
4 n^23 n^2+2 n+2 approx 4 n^23 n^2 = 43
Isso significa que, para valores muito grandes de n, a fração se aproxima de 43.

Passo 3

Agora, vamos considerar o fator (-1)^n na sequência. Esse termo faz com que a sequência alterne sinais a cada termo: quando n é par, o resultado é positivo, e quando n é ímpar, é negativo. Portanto, a sequência completa pode ser aproximada por:
(-1)^n times 43
Isso significa que, conforme n cresce, os termos da sequência vão se aproximar de +43 e -43 alternadamente.

Passo 4

Para uma sequência convergir, precisamos que ela se aproxime de um único valor à medida que n tende ao infinito. No nosso caso, a sequência está alternando entre +43 e -43 sem se estabilizar em um único valor. Isso indica que a sequência não está se aproximando de um único número, mas sim continuando a oscilar entre esses dois valores.

Resposta

A sequência diverge, pois não se aproxima de um único limite quando n tende ao infinito.

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