Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem uma sequência definida por
e precisa descobrir se ela converge ou diverge. Se convergir, também vamos encontrar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências e limites, especialmente analisando o comportamento quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para entender o comportamento quando
fica muito grande. Olhando para a fração
, percebemos que os termos de maior grau no numerador e denominador são
e
, respectivamente.
Quando
tende ao infinito, os termos com menor grau (como
e
) têm pouca influência no valor da fração. Então, podemos aproximar a fração por:
Isso significa que, para valores muito grandes de
, a fração se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos considerar o fator
na sequência. Esse termo faz com que a sequência alterne sinais a cada termo: quando
é par, o resultado é positivo, e quando
é ímpar, é negativo. Portanto, a sequência completa pode ser aproximada por:
Isso significa que, conforme
cresce, os termos da sequência vão se aproximar de
e
alternadamente.
Passo 4
Para uma sequência convergir, precisamos que ela se aproxime de um único valor à medida que
tende ao infinito. No nosso caso, a sequência está alternando entre
e
sem se estabilizar em um único valor. Isso indica que a sequência não está se aproximando de um único número, mas sim continuando a oscilar entre esses dois valores.
Resposta
A sequência diverge, pois não se aproxima de um único limite quando
tende ao infinito.